如图，在三棱柱 A B C - A _ 1 B _ 1 C…——2023 高考数学第 18 题答案解析

【答案】（1）证明见解析.

（2）1

【解析】

【分析】①由 $A _ { 1 } C \perp$ 平面 $A B C$ 得 $A _ { 1 } C \bot B C$ ，又因为 $A C \bot B C$ ，可证BC ^平面 $A C C _ { 1 } A _ { 1 }$ ，从而证得平面 $A C C _ { 1 } A _ { 1 } \perp$ 平面 $B C C _ { 1 } B _ { 1 }$ ；

(2) 过点 A 作 $A _ { 1 } O \bot C C _ { 1 }$ ，可证四棱锥的高为 $A _ { 1 } O$ ,由三角形全等可证 $A _ { 1 } C = A C$ ，从而证得O为 $C C _ { 1 }$ 中点，设 $\begin{array} { r } { A _ { 1 } C = A C = x } \end{array}$ ，由勾股定理可求出x，再由勾股定理即可求 $A _ { 1 } O$

【小问1详解】

证明：因为 $A _ { 1 } C \bot$ 平面ABC， $B C \subset$ 平面 $A B C$

所以 $A _ { 1 } C \perp B C$

又因为 $\angle A C B = 9 0 ^ { \circ }$ ，即 $A C \bot B C$

$A _ { 1 } C , A C \subset$ 平面 $A C C _ { 1 } A _ { 1 } , A _ { 1 } C \cap A C = C$

所以 $B C \perp$ 平面 $A C C _ { 1 } A _ { 1 }$

又因为 $B C \subset$ 平面 $B C C _ { 1 } B _ { 1 }$

所以平面 $A C C _ { 1 } A _ { 1 } \perp$ 平面 $B C C , B _ { 1 }$

【小问2详解】

如图，

过点 $A _ { 1 }$ 作 $A _ { 1 } O \bot C C _ { 1 }$ ，垂足为O.

因为平面 $A C C _ { 1 } A _ { 1 } \perp$ 平面 $B C C _ { 1 } B _ { 1 }$ ，平面 $A C C _ { 1 } A _ { 1 } \cap$ 平面 $B C C _ { 1 } B _ { 1 } = C C _ { 1 }$ $A _ { 1 } O \subset$ 平面 $A C C _ { 1 } A _ { 1 }$ 所以 $A _ { 1 } O \bot$ 平面 $B C C _ { 1 } B _ { 1 }$ 所以四棱锥 $A _ { 1 } - B B _ { 1 } C _ { 1 } C$ 的高为 $A _ { \mathrm { l } } O$ 因为 $A _ { 1 } C \perp$ 平面ABC， $A C , B C \subset$ 平面 $A B C$ 所以 $A _ { 1 } C \bot B C , A _ { 1 } C \bot A C$ 又因为 $A _ { 1 } B = A B$ ，BC为公共边，所以 $\triangle A B C \ H \triangle A _ { 1 } B C$ 全等，所以 $A _ { 1 } C = A C$ 设 $\mathcal { A } _ { 1 } C = \mathcal { A } C = x$ ，则 $A _ { 1 } C _ { 1 } = x$ 所以O为 $C C _ { 1 }$ 中点， $O C _ { 1 } = \frac { 1 } { 2 } A A _ { 1 } = 1$ 又因为 $A _ { 1 } C \bot A C$ ,所以 $A _ { 1 } C ^ { 2 } + A C ^ { 2 } = A A _ { 1 } ^ { 2 }$ 即 $x ^ { 2 } + x ^ { 2 } = 2 ^ { 2 }$ ，解得 $x = { \sqrt { 2 } }$ 所以 $A _ { 1 } O = { \sqrt { A _ { 1 } C _ { 1 } ^ { 2 } - O C _ { 1 } ^ { 2 } } } = { \sqrt { \left( { \sqrt { 2 } } \right) ^ { 2 } - 1 ^ { 2 } } } = 1$ 所以四棱锥 $A _ { 1 } - B B _ { 1 } C _ { 1 } C$ 的高为1