（本小题满分13分） 已知椭圆 E x ^ 2 a ^ 2…——2016 高考数学第 20 题答案解析

【答案】（Ⅰ） $\frac { x ^ { 2 } } { 6 } + \frac { y ^ { 2 } } { 3 } = 1$，点 T 坐标为（2,1）；（Ⅱ） $\lambda = \frac { 4 } { 5 }$

【解析】

试题分析：（Ⅰ）由椭圆两个焦点与短轴的一个端点是直角三角形的三个顶点可得 $a = \sqrt { 2 } c$ $a = { \sqrt { 2 } } b$，椭圆的标准方程中可减少一个参数，再利用直线和椭圆只有一个公共点，联立方程，方程有两个相等实根，解出b的值，从而得到椭圆的标准方程；（Ⅱ）首先设出直线l'方程为 $y = { \frac { 1 } { 2 } } x + m$ 线方程求出点P坐标，得 $\left| P T \right| ^ { 2 }$，同时设交点 $\boldsymbol { A } ( x _ { 1 } , y _ { 1 } ) , \boldsymbol { B } ( x _ { 2 } , y _ { 2 } )$，把l'方程与椭圆方程联立后消去y得x的二次方程，利用根与系数关系，得 $x _ { 1 } + x _ { 2 } , x _ { 1 } x _ { 2 }$，再计算 $\left| P A \right| \cdot \left| P B \right|$，比较可得λ值

试题解析：（I）由已知， $a ^ { 2 } + a ^ { 2 } = ( 2 c ) ^ { 2 }$，即 $a = \sqrt { 2 } c$，所以 $a = { \sqrt { 2 } } b$，则椭圆E的方程为 $\frac { x ^ { 2 } } { 2 b ^ { 2 } } + \frac { y ^ { 2 } } { b ^ { 2 } } = 1$

由方程组 $\left\{ \begin{array} { l l } { \displaystyle { \frac { x ^ { 2 } } { 2 b ^ { 2 } } } + \frac { y ^ { 2 } } { b ^ { 2 } } = 1 , } \\ { \displaystyle y = - x + 3 , } \end{array} \right.$ 得 $3 x ^ { 2 } - 1 2 x + ( 1 8 - 2 b ^ { 2 } ) = 0 . \textcircled { 1 }$

方程①的判别式为 $\scriptstyle 4 = 2 4 ( b ^ { 2 } - 3 )$，由 $\scriptstyle { \varDelta } = 0$，得 $b ^ { 2 } = 3$

此方程①的解为 $\scriptstyle x = 2$

所以椭圆E的方程为 $\frac { x ^ { 2 } } { 6 } + \frac { y ^ { 2 } } { 3 } = 1$

点 T 坐标为（2,1）.

（II）由已知可设直线l¢ 的方程为 $y = { \frac { 1 } { 2 } } x + m ( m \neq 0 )$ 有方程组 $\left\{ \begin{array} { l l } { \displaystyle y = \frac { 1 } { 2 } x + m , } \\ { \displaystyle y = - x + 3 , } \end{array} \right.$ 可得 $\left\{ { \begin{array} { l } { { \displaystyle x = 2 - { \frac { 2 m } { 3 } } } , } \\ { { \displaystyle y = 1 + { \frac { 2 m } { 3 } } } . } \end{array} } \right.$

所以P点坐标为 $( \ 2 - \frac { 2 m } { 3 } , 1 + \frac { 2 m } { 3 } ) , \ \left| { \cal P T } \right| ^ { 2 } = \frac { 8 } { 9 } m ^ { 2 }$
设点A，B的坐标分别为 $A ( x _ { 1 } , y _ { 1 } ) , \ B ( x _ { 2 } , y _ { 2 } )$
由方程组 $\left\{ { \frac { x ^ { 2 } } { 6 } } + { \frac { y ^ { 2 } } { 3 } } = 1 , \right.$ 可得 $3 x ^ { 2 } + 4 m x + ( 4 m ^ { 2 } - 1 2 ) = 0 . \textcircled { 2 }$
方程②的判别式为 $\scriptstyle 4 = 1 6 ( 9 - 2 m ^ { 2 } )$，由 $\scriptstyle \varDelta > 0$，解得 $- { \frac { 3 { \sqrt { 2 } } } { 2 } } < m < { \frac { 3 { \sqrt { 2 } } } { 2 } }$
由②得 $x _ { 1 } + x _ { 2 } = - \frac { 4 m } { 3 } , x _ { 1 } x _ { 2 } = \frac { 4 m ^ { 2 } - 1 2 } { 3 }$
所以 $\left| P A \right| = \sqrt { ( 2 - \frac { 2 m } { 3 } - x _ { 1 } ) ^ { 2 } + ( 1 + \frac { 2 m } { 3 } - y _ { 1 } ) ^ { 2 } } = \frac { \sqrt { 5 } } { 2 } \left| 2 - \frac { 2 m } { 3 } - x _ { 1 } \right|$
同理 $\left| P B \right| = \frac { \sqrt { 5 } } { 2 } \left| 2 - \frac { 2 m } { 3 } - x _ { 2 } \right|$
所以 $\left| P A \right| \cdot \left| P B \right| = \frac { 5 } { 4 } \left| ( 2 - \frac { 2 m } { 3 } - x _ { 1 } ) ( 2 - \frac { 2 m } { 3 } - x _ { 2 } ) \right|$
$= \frac { 5 } { 4 } \left| ( 2 - \frac { 2 m } { 3 } ) ^ { 2 } - ( 2 - \frac { 2 m } { 3 } ) ( x _ { 1 } + x _ { 2 } ) + x _ { 1 } x _ { 2 } \right|$
$= \frac { 5 } { 4 } \left| ( 2 - \frac { 2 m } { 3 } ) ^ { 2 } - ( 2 - \frac { 2 m } { 3 } ) ( - \frac { 4 m } { 3 } ) + \frac { 4 m ^ { 2 } - 1 2 } { 3 } \right|$
$= { \frac { 1 0 } { 9 } } m ^ { 2 }$

故存在常数 $\lambda = \frac { 4 } { 5 }$，使得 $\left| P T \right| ^ { 2 } = \lambda \left| P A \right| \cdot \left| P B \right|$

考点：椭圆的标准方程及其几何性质.

【名师点睛】本题考查椭圆的标准方程及其几何性质，考查学生的分析问题解决问题的能力和数形结合的思想.在涉及到直线与椭圆（圆锥曲线）的交点问题时，一般都设交点坐标为 $( x _ { 1 } , y _ { 1 } ) , ( x _ { 2 } , y _ { 2 } )$，同时把直线方程与椭圆方程联立，消元后，可得 $x _ { 1 } + x _ { 2 } , x _ { 1 } x _ { 2 }$，再把 $\left| P A \right| \cdot \left| P B \right|$ 用 $x _ { 1 } , x _ { 2 }$ 表示出来，并代入刚才的$x _ { 1 } + x _ { 2 } , x _ { 1 } x _ { 2 }$，这种方法是解析几何中的“设而不求”法．可减少计算量，简化解题过程．