（本小题满分 13 分） 设椭圆 x^ 2 a^ 2 +…——2019 高考数学第 18 题答案解析

【解答】
设椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>b>0)$ 的左焦点为 $F$ ，上顶点为 $B$ ．已知椭圆的短轴长为 4 ，离心率为 $\frac{\sqrt{5}}{5}$ ．

（I）求椭圆的方程；
（II）设点 $P$ 在椭圆上，且异于椭圆的上、下顶点，点 $M$ 为直线 $P B$ 与 $x$ 轴的交点，点 $N$ 在 $y$ 轴的负半轴上．若 $|O N|=|O F|$（ $O$ 为原点），且 $O P \perp M N$ ，求直线 $P B$ 的斜率．

【答案】（I）（II）$\frac{2 \sqrt{30}}{5}$ 或 $-\frac{2 \sqrt{30}}{5}$ ．

【解析】

【分析】

（I）由题意得到关于 $a, b, c$ 的方程，解方程可得椭圆方程；
（II）联立直线方程与椭圆方程确定点 $P$ 的值，从而可得 $O P$ 的斜率，然后利用斜率公式可得 $M N$ 的斜率表达式 ，最后利用直线垂直的充分必要条件得到关于斜率的方程，解方程可得直线的斜率．

【详解】（I ）
设椭圆的半焦距为 $c$ ，依题意， $2 b=4, \frac{c}{a}=\frac{\sqrt{5}}{5}$ ，又 $a^{2}=b^{2}+c^{2}$ ，可得 $a=\sqrt{5}, b=2, c=1$ ．
所以，椭圆方程为．
（II）由题意，设 $P\left(x_{P}, y_{P}\right)\left(x_{P} \neq 0\right), M\left(x_{M}, 0\right)$ ．设直线 $P B$ 的斜率为 $k(k \neq 0)$ ，
又 $B(0,2)$ ，则直线 $P B$ 的方程为 $y=k x+2$ ，与椭圆方程联立 $\left\{\begin{array}{l}y=k x+2 \\ \frac{x^{2}}{5}+\frac{y^{2}}{4}=1\end{array}\right.$ ，
整理得 $\left(4+5 k^{2}\right) x^{2}+20 k x=0$ ，可得 $x_{P}=-\frac{20 k}{4+5 k^{2}}$ ，
代入 $y=k x+2$ 得 $y_{P}=\frac{8-10 k^{2}}{4+5 k^{2}}$ ，
进而直线 $O P$ 的斜率 $\frac{y_{P}}{x_{P}}=\frac{4-5 k^{2}}{-10 k}$ ，
在 $y=k x+2$ 中，令 $y=0$ ，得 $x_{M}=-\frac{2}{k}$ ．
由题意得 $N(0,-1)$ ，所以直线 $M N$ 的斜率为 $-\frac{k}{2}$ ．
由 $O P \perp M N$ ，得 $\frac{4-5 k^{2}}{-10 k} \cdot\left(-\frac{k}{2}\right)=-1$ ，

化简得 $k^{2}=\frac{24}{5}$ ，从而 $k= \pm \frac{2 \sqrt{30}}{5}$ ．

所以，直线 $P B$ 的斜率为 $\frac{2 \sqrt{30}}{5}$ 或 $-\frac{2 \sqrt{30}}{5}$ ．
【点睛】本题主要考查椭圆的标准方程和几何性质、直线方程等基础知识。考查用代数方法研究圆锥曲线的性质．考查运算求解能力，以及用方程思想解决问题的能力．