【答案】（Ⅰ）f(x)的单调递增区间为(-∞,0)，单调递减区间为(0,+∞). $( 1 + { \frac { 1 } { n } } ) ^ { n } < \mathtt { e }$ ；（Ⅱ）详见解析；
（Ⅲ）详见解析.
【解析】（Ⅰ）f(x)的定义域为(-∞,+∞)， $f ^ { \prime } ( x ) = 1 - e ^ { x }$
当 $f ^ { \prime } ( x ) > 0$ ，即x<0时，f(x)单调递增；
当 $f ^ { \prime } ( x ) < 0$ ，即x>0时，f(x)单调递减.
故f(x)的单调递增区间为(-∞,0)，单调递减区间为(0,+∞)
当x>0时， $f ( x ) < f ( 0 ) = 0$ ，即 $1 + x < e ^ { x }$
7 $x = { \frac { 1 } { n } }$ ，得 $1 + { \frac { 1 } { n } } < e ^ { \frac { 1 } { n } }$ ，即 $( 1 + { \frac { 1 } { n } } ) ^ { n } < e$
$$
( \mathrm { ~ I I ~ } ) \frac { b _ { 1 } } { a _ { 1 } } = 1 \cdot ( 1 + \frac { 1 } { 1 } ) ^ { 1 } = 1 + 1 = 2 \ ; \frac { b _ { 1 } b _ { 2 } } { a _ { 1 } a _ { 2 } } = \frac { b _ { 1 } } { a _ { 1 } } \cdot \frac { b _ { 2 } } { a _ { 2 } } = 2 \cdot 2 ( 1 + \frac { 1 } { 2 } ) ^ { 2 } = ( 2 + 1 ) ^ { 2 } = 3 ^ { 2 } \ ;
$$
$$
\frac { b _ { 1 } b _ { 2 } b _ { 3 } } { a _ { 1 } a _ { 2 } a _ { 3 } } = \frac { b _ { 1 } b _ { 2 } } { a _ { 1 } a _ { 2 } } \cdot \frac { b _ { 3 } } { a _ { 3 } } = 3 ^ { 2 } \cdot 3 ( 1 + \frac { 1 } { 3 } ) ^ { 3 } = ( 3 + 1 ) ^ { 3 } = 4 ^ { 5 } \cdot
$$
由此推测： ${ \frac { b _ { 1 } b _ { 2 } \cdots b _ { n } } { a _ { 1 } a _ { 2 } \cdots a _ { n } } } = ( n + 1 ) ^ { * }$
下面用数学归纳法证明②.
> ①当n=1时，左边=右边=2，②成立.
(2)假设当n=k时，②成立，即 ${ \frac { b _ { 1 } b _ { 2 } \cdots b _ { k } } { a _ { 1 } a _ { 2 } \cdots a _ { k } } } = ( k + 1 ) ^ { k }$
当n=k+1时， $b _ { \kappa + 1 } = ( k + 1 ) ( 1 + \frac { 1 } { k + 1 } ) ^ { \kappa + 1 } a _ { \kappa + 1 }$
由归纳假设可得 $\frac { b _ { 1 } b _ { 2 } \cdots b _ { \kappa } b _ { \kappa + 1 } } { a _ { 1 } a _ { 2 } \cdots a _ { \kappa } a _ { \kappa + 1 } } = \frac { b _ { 1 } b _ { 2 } \cdots b _ { \kappa } } { a _ { 1 } a _ { 2 } \cdots a _ { \kappa } } \cdot \frac { b _ { \kappa + 1 } } { a _ { \kappa + 1 } } = ( \bar { k } + 1 ) ^ { \kappa } ( \bar { k } + 1 ) ( 1 + \frac { 1 } { \bar { k } + 1 } ) ^ { \kappa + 1 } = ( \bar { k } + 2 ) ^ { \bar { \kappa } + 1 }$
所以当n=k+1时，②也成立.
根据①②，可知②对一切正整数n都成立.
(II)由 $c _ { * }$ 的定义，②，算术-几何平均不等式， $\boldsymbol { b } _ { \ast }$ 的定义及①得
$$
T _ { * } = c _ { 1 } + c _ { 2 } + c _ { 3 } + \cdots + c _ { * } = ( a _ { 1 } ) ^ { \frac { 1 } { 1 } } + ( a _ { 1 } a _ { 2 } ) ^ { \frac { 1 } { 2 } } + ( a _ { 1 } a _ { 2 } a _ { 3 } ) ^ { \frac { 1 } { 3 } } + \cdots + ( a _ { 1 } a _ { 2 } \cdots a _ { n } ) ^ { \frac { 1 } { n } }
$$
$$
= \frac { ( b _ { 1 } ) ^ { \frac { 1 } { 1 } } } { 2 } + \frac { ( b _ { 1 } b _ { 2 } ) ^ { \frac { 1 } { 2 } } } { 3 } + \frac { ( b _ { 1 } b _ { 2 } b _ { 3 } ) ^ { \frac { 1 } { 3 } } } { 4 } + \cdots + \frac { ( b _ { 1 } b _ { 2 } \cdots b _ { n } ) ^ { \frac { 1 } { n } } } { n + 1 } \frac { \approx } { \mp } \mp [ | \overrightarrow { x } | ]
$$
$$
\leq { \frac { b _ { 1 } } { 1 \times 2 } } + { \frac { b _ { 1 } + b _ { 2 } } { 2 \times 3 } } + { \frac { b _ { 1 } + b _ { 2 } + b _ { 3 } } { 3 \times 4 } } + \cdots + { \frac { b _ { 1 } + b _ { 2 } + \cdots + b _ { * } } { n ( n + 1 ) } }
$$
$$
= b _ { 1 } [ \frac { 1 } { 1 \times 2 } + \frac { 1 } { 2 \times 3 } + \cdots + \frac { 1 } { n ( n + 1 ) } ] + b _ { 2 } [ \frac { 1 } { 2 \times 3 } + \frac { 1 } { 3 \times 4 } + \cdots + \frac { 1 } { n ( n + 1 ) } ] + \cdots + b _ { * } \cdot \frac { 1 } { n ( n + 1 ) }
$$
$$
= b _ { 1 } ( 1 - { \frac { 1 } { n + 1 } } ) + b _ { 2 } ( { \frac { 1 } { 2 } } - { \frac { 1 } { n + 1 } } ) + \cdots + b _ { * } ( { \frac { 1 } { n } } - { \frac { 1 } { n + 1 } } )
$$
$$
< \frac { b _ { 1 } } { 1 } + \frac { b _ { 2 } } { 2 } + \cdots + \frac { b _ { * } } { n } = ( 1 + \frac { 1 } { 1 } ) ^ { 1 } a _ { 1 } + ( 1 + \frac { 1 } { 2 } ) ^ { 2 } a _ { 2 } + \cdots + ( 1 + \frac { 1 } { n } ) ^ { * } a _ { * }
$$
$$
< e a _ { 1 } + e a _ { 2 } + \cdots + e a _ { n } = e S _ { n } .
$$
即 $T _ { n } < e S _ { n }$
【考点定位】导数的应，数列的概念，数学归纳法，基本不等式，不等式的证明
【名师点睛】使用裂项法求和时，要注意正负项相消时消去了哪些项，保留了哪些项，切不可漏写未被消去的项，未被消去的项有前后对称的特点，实质上造成正负相消是此法的根源与目的
运用数学归纳法应注意以下三点： $( 1 ) n { = } n _ { 0 }$ 时成立，要弄清楚命题的含义．②由假设 $n { = } k$ 成立证 $n { = } k$ ＋1时，要推导详实，并且一定要运用 $n { = } k$ 成立的结论．(3)要注意 $n { = } k$ 到 $n { = } k { + } 1$ 时增加的项数