（本题满分 12 分） 如图，正三棱锥 O - ABC 的…——2013 高考数学第 16 题答案解析

【答案】 $V_{O-A B C}=\frac{\sqrt{3}}{3} ; S_{O-A B C}=3 \sqrt{3}$
【解析】三棱锥 $O-A B C$ 的体积 $V_{O-A B C}=\frac{1}{3} \cdot S_{\triangle A B C} \cdot 1=\frac{1}{3} \cdot \sqrt{3}$
设 $O$ 在面 $A B C$ 中的射影为 $Q, B C$ 的中点为 $E$ ，则 $O Q=1, Q E=\frac{\sqrt{3}}{3}$ ，在 $R T \triangle O Q E$ 中 ，$O E^{2}=O Q^{2}+E Q^{2} \Rightarrow 1^{2}+\left(\frac{\sqrt{3}}{3}\right)^{2}=\frac{4}{3} \Rightarrow O E=\frac{2}{\sqrt{3}}$
三棱锥 $O-A B C$ 的表面积 $S_{O-A B C}=3 S_{\triangle O B C}+S_{\triangle A B C}=3 \cdot \frac{B C}{2} \cdot O E+\sqrt{3}=3 \sqrt{3}$
所以，三棱锥 $O-A B C$ 的体积 $V_{O-A B C}=\frac{\sqrt{3}}{3}$ ，表面积 $S_{O-A B C}=3 \sqrt{3}$