（本小题满分 12 分）已知 m R，直线 /: m x-…——2008 高考数学第 20 题答案解析

【解答】
（12分）（2008 •海南）已知 $m \in R$ ，直线 1 ：$m x-\left(m^{2}+1\right) y=4 m$ 和圆 $C: x^{2}+y^{2}-8 x+4 y+16=0$ －
（1）求直线 $l$ 斜率的取值范围；
（2）直线 1 能否将圆 C 分割成弧长的比值为 $\frac{1}{2}$ 的两段圆弧？为什么？
【考点】基本不等式在最值问题中的应用；直线的斜率；直线与圆的位置关系．
【分析】（1）写出直线的斜率利用基本不等式求最值；
（2）直线与圆相交，注意半径、弦心距、弦长的一半构成的直角三角形
【解答】解：（1）直线 $l$ 的方程可化为 $y=\frac{m}{m^{2}+1} x-\frac{4 m}{m^{2}+1}$ ，此时斜率 $k=\frac{m}{m^{2}+1}$ ，
即 $\mathrm{km}^{2}-\mathrm{m}+\mathrm{k}=0, \mathrm{k}=0$ 时， $\mathrm{m}=0$ 成立；
又 $\because \Delta \geq 0, \quad \therefore 1-4 \mathrm{k}^{2} \geq 0$ ，
所以，斜率 k 的取值范围是 $\left[-\frac{1}{2}, \frac{1}{2}\right]$ ．

（2）不能。由（1）知 1 的方程为 $\mathrm{y}=\mathrm{k}(\mathrm{x}-4)$ ，其中 $|\mathrm{k}| \leqslant \frac{1}{2}$ ；
圆 C 的圆心为 $\mathrm{C}(4,-2)$ ，半径 $\mathrm{r}=2$ ；圆心 C 到直线 $l$ 的距离 $\mathrm{d}=\frac{2}{\sqrt{1+\mathrm{k}^{2}}}$
由 $|\mathrm{k}| \leqslant \frac{1}{2}$ ，得 $\mathrm{d} \geqslant \frac{4}{\sqrt{5}}>1$ ，即 $\mathrm{d}>\frac{\mathrm{r}}{2}$ ，
从而，若 l 与圆 C 相交，则圆 C 截直线 l 所得的弦所对的圆心角小于 $\frac{2 \pi}{3}$ ，
所以 1 不能将圆 C 分割成弧长的比值为 $\frac{1}{2}$ 的两段弧．
【点评】本题考查直线与圆及不等式知识的综合应用．
高考考点：直线与圆及不等式知识的综合应用
易错点：对有关公式掌握不到位而出错。
全品备考提示：本题不是很难，但需要大家有扎实的功底，对相关知识都要受熟练掌握。