（20）（本小题满分 12 分） 如图，椭圆 C_ 0 :…——2012 高考数学第 20 题答案解析

解析：①设 $A\left(x_{1}, y_{1}\right), B\left(x_{1},-y_{1}\right)$ ，又知 $A_{1}(-a, 0), A_{2}(a, 0)$ ，

则直线 $A_{1} A$ 的方程为 $y=\frac{y_{1}}{x_{1}+a}(x+a)$

直线 $A_{2} B$ 的方程为 $y=\frac{-y_{1}}{x_{1}-a}(x-a)$

由①②得 $y^{2}=\frac{-y_{1}^{2}}{x_{1}^{2}-a^{2}}\left(x^{2}-a^{2}\right)$

由点 $A\left(x_{1}, y_{1}\right)$ 在椭圆 $C_{0}$ 上，故 $\frac{x_{1}^{2}}{a^{2}}+\frac{y_{1}^{2}}{b^{2}}=1$ ，从而 $y_{1}^{2}=b^{2}\left(1-\frac{x_{1}^{2}}{a^{2}}\right)$ 代入③得 $\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1 \quad(x<-a, y<0)$
> ②证明：设 $A\left(x_{2}, y_{2}\right)$ ，由矩形 ABCD 与矩形 $A^{\prime} B^{\prime} D^{\prime}$ 的面积相等，得
$4\left|x_{1}\left\|y_{1}|=4| x_{2}\right\| y_{2}\right|$ 故 $x_{1}^{2} y_{1}^{2}=x_{2}^{2} y_{2}^{2}$
因为点 $\mathrm{A}, A$ 均在椭圆上，所以，$b^{2} x_{1}^{2}\left(1-\frac{x_{1}^{2}}{a^{2}}\right)=b^{2} x_{2}^{2}\left(1-\frac{x_{2}^{2}}{a^{2}}\right)$
由 $t_{1} \neq t_{2}$ ，知 $x_{1} \neq x_{2}$ ，所以 $x_{1}{ }^{2}+x_{2}{ }^{2}=a^{2}$ 。从而 $y_{1}{ }^{2}+y_{2}{ }^{2}=b^{2}$
因此 $t_{1}{ }^{2}+t_{2}{ }^{2}=a^{2}+b^{2}$ 为定值
考点定位：本大题主要考查椭圆、圆、直线的标准方程的求法以及直线与椭圆、圆的位置关系，突出解析几何的基本思想和方法的考查：如数形结合思想、坐标化方法等．