在锐角 A B C 中，角 A, B, C 的对边分别为…——2020 高考数学第 18 题答案解析

【分析】（I）根据正弦定理可得 $\sin B=\frac{\sqrt{3}}{2}$ ，结合角的范围，即可求出，
（II）根据两角和差的余弦公式，以及利用正弦函数的性质即可求出。
解：（ I ）$\because 2 b \sin A=\sqrt{3} a$ ，
$\therefore 2 \sin B \sin A=\sqrt{3} \sin A$ ，
$\because \sin A \neq 0$,
$\therefore \sin B=\frac{\sqrt{3}}{2}$ ，
$\because \frac{\pi}{6}<B<\frac{\pi}{2}$,
$\therefore B=\frac{\pi}{3}$ ，
（II）$\because \triangle A B C$ 为锐角三角形，$B=\frac{\pi}{3}$ ，
$\therefore C=\frac{2 \pi}{3}-A$,
$\therefore \cos A+\cos B+\cos C=\cos A+\cos \left(\frac{2 \pi}{3}-A\right)+\cos \frac{\pi}{3}=\cos A-\frac{1}{2} \cos A+\frac{\sqrt{3}}{2} \sin A+\frac{1}{2}=\frac{1}{2} \cos A+$
$\frac{\sqrt{3}}{2} \sin A+\frac{1}{2}=\sin \left(A+\frac{\pi}{6}\right)+\frac{1}{2}$ ，
$\triangle A B C$ 为锐角三角形， $0<A<\frac{\pi}{2}, 0<C<\frac{\pi}{2}$ ，
解得 $\frac{\pi}{6}<A<\frac{\pi}{2}$ ，
$\therefore \frac{\pi}{3}<A+\frac{\pi}{6}<\frac{2 \pi}{3}$,

$\therefore \frac{\sqrt{3}}{2}<\sin \left(A+\frac{\pi}{6}\right) \leqslant 1$ ，
$\therefore \frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{1}{2}<\sin \left(A+\frac{\pi}{6}\right)+1 \leqslant \frac{3}{2}$,
$\therefore \cos A+\cos B+\cos C$ 的取值范围为 $\left(\frac{\sqrt{3}+1}{2}, \frac{3}{2}\right]$ ．