（本小题满分 14 分） 已知函数 f(x)= x , g…——2010 高考数学第 20 题答案解析

【解答】
解：（I）$f^{\prime}(x)=\frac{1}{2 \sqrt{x}}, g^{\prime}(x)=\frac{a}{x}(\mathrm{x}>0)$ ，

由已知得 $\left\{\begin{array}{l}\sqrt{x}=a \ln x, \\ \frac{1}{2 \sqrt{x}}=\frac{a}{x},\end{array}\right.$ 解得 $\mathrm{a}=\frac{e}{2}, \mathrm{x}=\mathrm{e}^{2}$ ，
∴ 两条曲线交点的坐标为（ $\left.\mathrm{e}^{2}, \mathrm{e}\right) \quad$ 切线的斜率为 $k=f^{\prime}\left(\mathrm{e}^{2}\right)=\frac{1}{2 e}$ ，
∴ 切线的方程为 $y-e=\frac{1}{2 e}\left(x-e^{2}\right)$ ．
（II）由条件知 $h(x)=\sqrt{x}-a \ln x(x>0)$ ，

$$ \therefore h^{\prime}(x)=\frac{1}{2 \sqrt{x}}-\frac{a}{x}=\frac{\sqrt{x}-2 a}{2 x}, $$

（i）当 $\mathrm{a}>0$ 时，令 $h^{\prime}(x)=0$ ，解得 $x=4 a^{2}$ ，
$\therefore$ 当 $0<x<4 a^{2}$ 时，$h^{\prime}(x)<0, h(x)$ 在 $\left(0,4 a^{2}\right)$ 上递减；
当 $x>4 a^{2}$ 时，$h^{\prime}(x)>0, h(x)$ 在 $\left(4 a^{2},+\infty\right)$ 上递增．
$\therefore \quad x=4 a^{2}$ 是 $h(x)$ 在 $(0,+\infty)$ 上的唯一极值点，且是极小值点，从而也是 $h(x)$ 的最小值点．
$\therefore \quad$ 最小值 $\varphi(a)=h\left(4 a^{2}\right)=2 a-a \ln 4 a^{2}=2 a(1-\ln 2 a)$ ．
（ii）当 $a \leq 0$ 时，$h^{\prime}(x)=\frac{\sqrt{x}-2 a}{2 x}>0, h(x)$ 在 $(0,+\infty)$ 上递增，无最小值。
故 $h(x)$ 的最小值 $\varphi(a)$ 的解析式为 $\varphi(a)=2 a(1-\ln 2 a)(a>0)$ ．
（III）由（II）知 $\varphi(a)=2 a(1-\ln 2-\ln a)$ ．
则 $\varphi^{\prime}(a)=-2 \ln 2 a$ ，令 $\varphi^{\prime}(a)=0$ 解得 $a=\frac{1}{2}$ ．
当 $0<a<\frac{1}{2}$ 时，$\varphi^{\prime}(a)>0, \therefore \varphi(a)$ 在 $\left(0, \frac{1}{2}\right)$ 上递增；
当 $a>\frac{1}{2}$ 时，$\varphi^{\prime}(a)<0, \therefore \varphi(a)$ 在 $\left(\frac{1}{2},+\infty\right)$ 上递减。
$\therefore \varphi(a)$ 在 $a=\frac{1}{2}$ 处取得最大值 $\varphi\left(\frac{1}{2}\right)=1$ ，
$\because \varphi(a)$ 在 $(0,+\infty)$ 上有且只有一个极值点，所以 $\varphi\left(\frac{1}{2}\right)=1$ 也是 $\varphi(a)$ 的最大值．
∴ 当 $a \in(0,+\infty)$ 时，总有 $\varphi(a) \leq 1$ ．

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