2008_退役省自主命题 (2008·理)
10．设 $[x]$ 表示不超过 $x$ 的最大整数（如 $[2]=2,\left[\frac{5}{4}\right]=1$ ），对于给定的 $n \in \mathbf{N}^{*}$ ，定义 $C_{n}^{x}=\frac{n(n-1) \cdots(n-[x]+1)}{x(x-1) \cdots(x-[x]+1)}, x \in[1,+\infty)$ ，则当 $x \in\left[\frac{3}{2}, 3\right)$ 时，函数 $C_{8}^{x}$ 的值域是（）
【解答】
设 $[x]$ 表示不超过 $x$ 的最大整数（如 $[2]=2,\left[\frac{5}{4}\right]=1$ ），对于给定的 $n \in \mathbf{N}^{*}$ ，定义 $C_{n}^{x}=\frac{n(n-1) \cdots(n-[x]+1)}{x(x-1) \cdots(x-[x]+1)}, x \in[1,+\infty)$ ，则当 $x \in\left[\frac{3}{2}, 3\right)$ 时，函数 $C_{8}^{x}$ 的值域是（）
A．$\left[\frac{16}{3}, 28\right]$
B．$\left[\frac{16}{3}, 56\right)$
C．$\left(4, \frac{28}{3}\right) \cup[28,56)$
D．$\left(4, \frac{16}{3}\right] \cup\left(\frac{28}{3}, 28\right]$
【答案】 D
【解析】当 $x \in\left[\frac{3}{2}, 2\right)$ 时，$C_{8}^{\frac{3}{2}}=\frac{8}{\frac{3}{2}}=\frac{16}{3}$ ，当 $x \rightarrow 2$ 时，$[x]=1$ ，所以 $C_{8}^{x}=\frac{8}{2}=4$ ；当 $[2,3)$ 时，$C_{8}^{2}=\frac{8 \times 7}{2 \times 1}=28$ ，当 $x \rightarrow 3$ 时，$[x]=2, C_{8}^{x}=\frac{8 \times 7}{3 \times 2}=\frac{28}{3}$ ，故函数 $C_{8}^{x}$ 的值域是 $\left(4, \frac{16}{3}\right] \cup\left(\frac{28}{3}, 28\right]$ ．选D．