（5分）与正方体 A B C D - A _ 1 B _…——2010 高考数学第 11 题答案解析

【考点】LO：空间中直线与直线之间的位置关系

【专题】16：压轴题

【分析】由于点D、 $\mathsf { B } _ { 1 }$ 显然满足要求，猜想 $\mathsf { B } _ { 1 } \mathsf { D }$ 上任一点都满足要求，然后想办法证明结论

【解答】解：在正方体 $\mathsf { A B C D } - \mathsf { A } _ { 1 } \mathsf { B } _ { 1 } \mathsf { C } _ { 1 } \mathsf { D } _ { 1 }$ 上建立如图所示空间直角坐标系，

并设该正方体的棱长为1，连接 $\mathsf { B } _ { 1 } \mathsf { D }$ ，并在 $\mathsf { B } _ { 1 } \mathsf { D }$ 上任取一点P，

因为 $\overrightarrow { \mathrm { D } \mathrm { B } _ { 1 } } ^ { = } = ( 1 , 1 , 1 )$

所以设 $\textsf { P } \left( \textsf { a } , \textsf { a } , \textsf { a } \right)$ ，其中0≤a≤1

作 $\mathsf { P E } \bot$ 平面 $\mathsf { A } _ { 1 } \mathsf { D }$ ，垂足为E，再作 $\mathsf { E F \bot A _ { 1 } D _ { 1 } }$ ，垂足为F，

则PF是点P到直线 $\mathsf { A } _ { 1 } \mathsf { D } _ { 1 }$ 的距离

所以 $\mathsf { P F } { = } \sqrt { \mathsf { a } ^ { 2 } + ( 1 - \mathsf { a } ) \mathsf { \Omega } ^ { 2 } } ;$

同理点P到直线AB、 $\mathsf { C C } _ { 1 }$ 的距离也是 $\sqrt { { \tt a } ^ { 2 } + ( 1 - { \tt a } ) { \tt \Lambda } ^ { 2 } }$

所以 $\mathsf { B } _ { 1 } \mathsf { D }$ 上任一点与正方体 $\mathsf { A B C D } - \mathsf { A } _ { 1 } \mathsf { B } _ { 1 } \mathsf { C } _ { 1 } \mathsf { D } _ { 1 }$ 的三条棱AB、 $\mathsf { C C } _ { 1 } , \mathsf { A } _ { 1 } \mathsf { D } _ { 1 }$ 所在直线的距离都相等，

所以与正方体 $\mathsf { A B C D } - \mathsf { A } _ { 1 } \mathsf { B } _ { 1 } \mathsf { C } _ { 1 } \mathsf { D } _ { 1 }$ 的三条棱AB、 $\mathsf { C C } _ { 1 } , \mathsf { A } _ { 1 } \mathsf { D } _ { 1 }$ 所在直线的距离相等的点有无数个

故选：D

【点评】本题主要考查合情推理的能力及空间中点到线的距离的求法