设 F _ 1 , F _ 2 为椭圆 C : x ^ 2…——2019 高考数学第 15 题答案解析

【答案】 $\left( 3 , { \sqrt { 1 5 } } \right)$

【解析】

【分析】

根据椭圆的定义分别求出 $\left| M F _ { 1 } \right| \cdot \left| M F _ { 2 } \right|$ ，设出M的坐标，结合三角形面积可求出M的坐标.

【详解】由已知可得 $a ^ { 2 } = 3 6 , b ^ { 2 } = 3 6 , \therefore c ^ { 2 } = a ^ { 2 } - b ^ { 2 } = 1 6 , \therefore c = 4$

$$ \therefore \left| M F _ { 1 } \right| = \left| F _ { 1 } F _ { 2 } \right| = 2 c = 8 . $$

$$ \therefore \left| M F _ { 1 } \right| + \left| M F _ { 2 } \right| = 2 a = 1 2 , \left| M F _ { 2 } \right| = 4 . $$

设点M的坐标为 $( x _ { 0 } , y _ { 0 } ) ( x _ { 0 } > 0 , y _ { 0 } > 0 )$ ，则 $S _ { \triangle M F _ { 1 } F _ { 2 } } = \frac { 1 } { 2 } \cdot \big | F _ { 1 } F _ { 2 } \big | \cdot y _ { 0 } = 4 y _ { 0 }$ 又 $S _ { \triangle M F _ { 1 } F _ { 2 } } = \frac { 1 } { 2 } \times 4 \times \sqrt { 8 ^ { 2 } - 2 ^ { 2 } } = 4 \sqrt { 1 5 } \ , \therefore 4 y _ { 0 } = 4 \sqrt { 1 5 }$ ，解得 $y _ { 0 } = \sqrt { 1 5 }$ $\therefore \frac { x _ { 0 } ^ { 2 } } { 3 6 } + \frac { \left( \sqrt { 1 5 } \right) ^ { 2 } } { 2 0 } = 1$ ，解得 $x _ { 0 } = 3 ~ ( ~ x _ { 0 } = - 3$ 舍去），

\ M 的坐标为 $\left( 3 , { \sqrt { 1 5 } } \right)$

【点睛】本题考查椭圆标准方程及其简单性质，考查数形结合思想、转化与化归的能力，很好的落实了直观想象、逻辑推理等数学素养.