2009_quanguo_old_ii
5．（5分）已知正四棱柱 $\mathsf { A B C D } - \mathsf { A _ { 1 } B _ { 1 } C _ { 1 } D _ { 1 } } \mathsf { F }$ $A A _ { 1 } = 2 A B$ ，E为 ${ \mathsf { A A } } _ { 1 }$ 中点，则异面直线BE与 $\mathsf { C D } _ { 1 }$ 所形成角的余弦值为（A $\frac { \sqrt { 1 0 } } { 1 0 }$ B $\frac { 1 } { 5 }$ C $\frac { 3 { \sqrt { 1 0 } } } { 1 0 }$ D $\frac { 3 } { 5 }$
C
用 3 道相关题确认基础和中等变式会到哪一步。
【考点】LM：异面直线及其所成的角
【专题】11：计算题；31：数形结合；44：数形结合法；5G：空间角
【分析】由 ${ \mathsf { B A } } _ { 1 } { \parallel } { \mathsf { C D } } _ { 1 }$ ，知 $\angle \mathsf { A } _ { 1 }$ BE是异面直线BE与 $\mathsf { C D } _ { 1 }$ 所形成角，由此能求出异面直线BE与 $\mathsf { C D } _ { 1 }$ 所形成角的余弦值
【解答】解：∵正四棱柱 $\mathsf { A B C D } - \mathsf { A } _ { 1 } \mathsf { B } _ { 1 } \mathsf { C } _ { 1 } \mathsf { D } _ { 1 }$ 中， $A A _ { 1 } = 2 A B$ ，E为 $\mathsf { A A } _ { 1 }$ 中点，
$\therefore B A _ { 1 } \| { \mathsf C D } _ { 1 } , \therefore \angle { \mathsf A } _ { 1 }$ BE是异面直线BE与 $\mathsf { \Gamma } ( \mathsf { D } _ { 1 }$ 所形成角，
设 $A A _ { 1 } = 2 A B = 2$
则 $\mathsf { A } _ { 1 } \mathsf { E } { = } 1$ $B \mathsf E = \sqrt { 1 ^ { 2 } + 1 ^ { 2 } } = \sqrt { 2 }$
$A _ { 1 } B = { \sqrt { 1 ^ { 2 } + 2 ^ { 2 } } } = { \sqrt { 5 } } ,$
$\therefore \cos \angle A _ { 1 } B E = \frac { \tt A _ { 1 } B ^ { 2 } + B E ^ { 2 } - A _ { 1 } E ^ { 2 } } { 2 \bullet \tt A _ { 1 } B \bullet B \ E }$
$\begin{array} { r l } & { = \frac { 5 + 2 - 1 } { 2 \times \sqrt { 5 } \times \sqrt { 2 } } } \\ & { = \frac { 3 \sqrt { 1 0 } } { 1 0 } . } \end{array}$
∴异面直线BE与 $\mathsf { C D } _ { 1 }$ 所形成角的余弦值为 $\frac { 3 { \sqrt { 1 0 } } } { 1 0 }$
故选：C
【点评】本题考查异面直线所成角的余弦值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养