2010_quanguo_old_i
9．（5分）已知 $\mathsf { F } _ { 1 } , ~ \mathsf { F } _ { 2 }$ 为双曲线C： $\tt x ^ { 2 } - y ^ { 2 } = 1$ 的左、右焦点，点P在C上， $\angle F _ { 1 } P F _ { 2 } = 6$ $0 ^ { \circ }$ ，则P到x轴的距离为（ ） A $\frac { \sqrt { 3 } } { 2 }$ B $\frac { \sqrt { 6 } } { 2 }$ C $\sqrt { 3 }$ D $\sqrt { 6 }$
B
用 3 道相关题确认基础和中等变式会到哪一步。
【考点】HR：余弦定理；KA：双曲线的定义；KC：双曲线的性质
【专题】11：计算题
【分析】设点 ${ \sf P } \mathrm { ( } { \sf x } _ { 0 } , \mathrm { y } _ { 0 } \mathrm { ) }$ 在双曲线的右支，由双曲线的第二定义得$\big \vert \mathtt { P F } _ { 1 } \big \vert = \mathtt { e } [ \mathtt { x _ { 0 } } - ( \frac { \mathtt { a } ^ { 2 } } { \mathtt { c } } ) ] = \mathtt { a } + \mathtt { e } \mathtt { x _ { 0 } } = 1 + \sqrt { 2 } \mathtt { x _ { 0 } } ,$ |P $\mathtt { F } _ { 2 } \mathtt { | = e [ \mathtt { x } _ { 0 } \mathtt { - \mathtt { a } _ { \mathtt { c } } ^ { 2 } } ) ] = e \mathtt { x } _ { 0 } \mathtt { - a } = \sqrt { 2 } \mathtt { x } _ { 0 } \mathtt { - 1 } }$ ．由余弦定理得 ${ \mathsf { c o s } } { \angle } { \mathsf { F } } _ { 1 } { \mathsf { P } } { \mathsf { F } } _ { 2 } { \mathsf { = } }$ $\frac { \vert \mathtt { P F } _ { 1 } \vert ^ { 2 } + \vert \mathtt { P F } _ { 2 } \vert ^ { 2 } - \vert \mathtt { F } _ { 1 } \mathtt { F } _ { 2 } \vert ^ { 2 } } { 2 \vert \mathtt { P F } _ { 1 } \vert \vert \mathtt { P F } _ { 2 } \vert } ,$ ，由此可求出P到x轴的距离
【解答】解：不妨设点 ${ \sf P } \left( \sf x _ { 0 } , \sf y _ { 0 } \right)$ 在双曲线的右支，由双曲线的第二定义得|PF $1 = e [ x _ { 0 } - ( \frac { \bar { a } ^ { 2 } } { \bar { c } } ) ] = a + e x _ { 0 } = 1 + \sqrt { 2 } x _ { 0 } ,$ $\begin{array} { r } { { ^ \circ { \mathbb F } _ { 2 } } | = \mathtt { e } [ \mathtt { x } _ { 0 } - \frac { \mathtt { a } ^ { 2 } } { \mathtt { c } } ) ] = \mathtt { e } \mathtt { x } _ { 0 } - \mathtt { a } = \sqrt 2 \mathtt { x } _ { 0 } - 1 . } \end{array}$
由余弦定理得
$\cos \angle \mathsf { F } _ { 1 } \mathsf { P F } _ { 2 } = \frac { \left| \mathsf { P F } _ { 1 } \right| ^ { 2 } + \left| \mathsf { P F } _ { 2 } \right| ^ { 2 } - \left| \mathsf { F } _ { 1 } \mathsf { F } _ { 2 } \right| ^ { 2 } } { 2 \left| \mathsf { P F } _ { 1 } \right| \left| \mathsf { P F } _ { 2 } \right| } ,$ ，即 $\cos 6 0 ^ { \circ } =$ $\begin{array} { r } { \frac { \left( 1 + \sqrt { 2 } \mathbf { x } _ { 0 } \right) ^ { 2 } + \left( \sqrt { 2 } \mathbf { x } _ { 0 } - 1 \right) ^ { 2 } - \left( 2 \sqrt { 2 } \right) ^ { 2 } } { 2 \left( 1 + \sqrt { 2 } \mathbf { x } _ { 0 } \right) \left( \sqrt { 2 } \mathbf { x } _ { 0 } - 1 \right) } , } \end{array}$
解得 $\mathbf { x } _ { 0 } ^ { 2 } = \frac { 5 } { 2 }$ ，所以 ${ \bf y } _ { 0 } \ L ^ { 2 } \ L = \ L { \bf x } _ { 0 } ^ { 2 } \ L - 1 = \ L \frac { 3 } { 2 }$ ，故P到x轴的距离为 $\mid \mathbf { y } _ { 0 } \mid = \frac { \sqrt { 6 } } { 2 }$
故选：B
【点评】本题主要考查双曲线的几何性质、第二定义、余弦定理，考查转化的数学思想，通过本题可以有效地考查考生的综合运用能力及运算能力