【答案】（1）证明见解析；（2）24.
【解析】
【分析】
> ①由M N, 分别为BC， $B _ { 1 } C _ { 1 }$ 的中点， $M N / / C C _ { 1 }$ ，根据条件可得 $A A _ { 1 } / / B B _ { 1 }$ ，可证MN AA<sub>1</sub>// ，要证平面 $E B _ { 1 } C _ { 1 } F$ ^平面 $A _ { 1 } A M N$ ，只需证明 $E F \perp$ 平面 A AMN<sub>1</sub> 即可；
（2）根据已知条件求得 $S _ { \underline { { \mathbb { I } } } \underline { { \mathbb { I } } } \mathrm { i } \underline { { \hbar } } \mathcal { H } \xi E B _ { 1 } C _ { 1 } F }$ 和M 到PN的距离，根据椎体体积公式，即可求得$V _ { B - E B _ { 1 } C _ { 1 } F }$
【详解】①QM N, 分别为BC， $B _ { 1 } C _ { 1 }$ 的中点，
$$
\therefore M N / / B B ,
$$
又 $A A _ { 1 } / / B B _ { 1 }$
$$
\therefore M N / / A A _ { 1 }
$$
在等边 $\triangle A B C$ 中， M 为 BC中点，则 $B C \bot A M$
又Q侧面 $B B _ { 1 } C _ { 1 } C$ 为矩形，
$$
\therefore B C \bot B B _ { 1 }
$$
$$
\because M N / / B B _ { 1 }
$$
$$
M N \perp B C
$$
由 $M N \cap A M = M$ $M N , A M \subset$ 平面 $A _ { 1 } A M N$
$\therefore B C \bot$ 平面 $A _ { 1 } A M N$
又Q $B _ { 1 } C _ { 1 } / / B C$ ，且 $B _ { 1 } C _ { 1 }$ Ë平面 ABC ， $B C \subset$ 平面 ABC ，
$\therefore B _ { 1 } C _ { 1 } / /$ 平面 ABC
又Q $B _ { 1 } C _ { 1 } \subset$ 平面 $E B _ { 1 } C _ { 1 } F$ ，且平面 $E B _ { 1 } C _ { 1 } F \cap$ 平面 $A B C = E F$
$$
\therefore B _ { 1 } C _ { 1 } / / E F
$$
$$
\therefore E F / / B C
$$
又Q $B C \perp$ 平面 $A _ { 1 } A M N$
$\therefore E F \bot$ 平面 $A _ { 1 } A M N$
$\because E F \subset$ 平面 $E B _ { 1 } C _ { 1 } F$
$\therefore$ 平面 $E B _ { 1 } C _ { 1 } F \perp$ 平面 $A _ { 1 } A M N$
（2）过M 作PN垂线，交点为H，
画出图形，如图
$\because A O / /$ 平面 $E B _ { 1 } C _ { 1 } F$
$A O \subset$ 平面 $A _ { 1 } A M N$ ，平面 $A _ { 1 } A M N \cap$ 平面 $E B _ { 1 } C _ { 1 } F = N P$
$$
\therefore A O / / N P
$$
又 $\because N O / / A P$
\ AO NP= = 6
$\because O$ 为 $\triangle A _ { 1 } B _ { 1 } C _ { 1 }$ 的中心.
$$
\therefore O N = { \frac { 1 } { 3 } } A _ { 1 } C _ { 1 } \sin 6 0 ^ { \circ } = { \frac { 1 } { 3 } } \times 6 \times \sin 6 0 ^ { \circ } = { \sqrt { 3 } }
$$
故： $O N = A P = \sqrt { 3 }$ ，则 $A M = 3 A P = 3 { \sqrt { 3 } }$
$\because$ 平面 $E B _ { 1 } C _ { 1 } F \bot$ 平面 $A _ { 1 } A M N$ ，平面 $E B _ { 1 } C _ { 1 } F \cap$ 平面 $A _ { 1 } A M N = N P$
$M H \subset \overline { { \Psi } }$ 面 $A _ { 1 } A M N$
$\therefore M H \bot$ 平面 $E B _ { 1 } C _ { 1 } F$
又Q在等边 $\triangle A B C$ 中 ${ \frac { E F } { B C } } { = } { \frac { A P } { A M } }$
即 $E F = { \frac { A P \cdot B C } { A M } } = { \frac { { \sqrt { 3 } } \times 6 } { 3 { \sqrt { 3 } } } } = 2$
由①知，四边形 $E B _ { 1 } C _ { 1 } F$ 为梯形
$\therefore$ 四边形 $E B _ { 1 } C _ { 1 } F$ 的面积为： $S _ { \perp \parallel \dot { 2 } \dot { \mathcal { H } } E B _ { 1 } C _ { 1 } F } = \frac { E F + B _ { 1 } C _ { 1 } } { 2 } \cdot N P = \frac { 2 + 6 } { 2 } \times 6 = 2 4$
$$
\therefore V _ { _ { B - E B _ { 1 } C _ { 1 } F } } = { \frac { 1 } { 3 } } S _ { _ { \perp \perp \perp \perp \perp \perp \perp E B _ { 1 } C _ { 1 } F } } \cdot h
$$
h为M 到PN的距离 $M H = 2 { \sqrt { 3 } } \cdot \sin 6 0 ^ { \circ } = 3$
$$
\therefore V = \frac { 1 } { 3 } \times 2 4 \times 3 = 2 4 .
$$
【点睛】本题主要考查了证明线线平行和面面垂直，及其求四棱锥的体积，解题关键是掌握面面垂直转为求证线面垂直的证法和棱锥的体积公式，考查了分析能力和空间想象能力，属于中档题.
