（12分）设函数 f ( x ) = s i n x 2…——2008 高考数学第 22 题答案解析

【考点】3R：函数恒成立问题；6B：利用导数研究函数的单调性

【专题】11：计算题；16：压轴题

【分析】（1）先确定函数的定义域然后求导数fˊ（x），在函数的定义域内解不等式fˊ（x）＞0和f $( \mathsf { x } ) < 0$ ，求出单调区间

（2）令 $\mathbf { \bar { g } } ( \mathbf { x } ) = \mathbf { a x } - \mathbf { f } ( \mathbf { x } )$ ，根据导数研究单调性的方法，即转化成研究对任何x≥0，都有g（x）≥0恒成立，再利用分类讨论的方法求出a的范围

【解答】解：（Ⅰ） $\scriptstyle \mathbf { f } ^ { \prime } ( \mathbf { x } ) = { \frac { \left( 2 + \cos \mathbf { x } \right) \cos \mathbf { x } - \sin \mathbf { x } \left( - \sin \mathbf { x } \right) } { \left( 2 + \cos \mathbf { x } \right) { } ^ { 2 } } } = { \frac { 2 \cos \mathbf { x } + 1 } { \left( 2 + \cos \mathbf { x } \right) { } ^ { 2 } } }$ ．（2分）

当 $- \frac { 2 \pi } { 3 } < x < 2 k \pi + \frac { 2 \pi } { 3 }$ （k∈Z）时， $\cos x > - \frac { 1 } { 2 }$ ，即f' $\mathbf { \Psi } ( \mathbf { x } ) \mathbf { \Psi } > 0$

当 $2 k \pi + \frac { 2 \pi } { 3 } < x < 2 k \pi + \frac { 4 \pi } { 3 }$ （k∈Z）时， $\mathsf { c o s x } { < } - \frac { 1 } { 2 }$ ，即f' $( \mathsf { x } ) < 0$

因此f（x）在每一个区间 $( 2 \mathrm { k } \pi - \frac { 2 \pi } { 3 }$ , 2k $\pi + \frac { 2 \pi } { 3 } ) ( k \in Z )$ 是增函数，f（x）在

每一个区间 $( 2 \mathrm { k } \pi + \frac { 2 \pi } { 3 }$ $\operatorname { 2 k } \pi + \frac { 4 \pi } { 3 } ) ( \boldsymbol { \mathsf { k } } \in \mathbb { Z } )$ 是减函数．（6分）

（Ⅱ）令g $( { \pmb x } ) = { \pmb a } { \pmb x } - { \pmb f } ( { \pmb x } )$ ，则 $\varepsilon ^ { \prime } ( \mathbf { x } ) = \bar { \mathbf { a } } \frac { 2 \cos \mathbf { x } + 1 } { \left( 2 + \cos \mathbf { x } \right) ^ { 2 } } \equiv \bar { \mathbf { a } } \frac { 2 } { 2 + \cos \mathbf { s } \mathbf { x } } + \frac { 3 } { \left( 2 + \cos \mathbf { s } \right) ^ { 2 } }$ $= 3 ( \frac { 1 } { 2 + \cos x } - \frac { 1 } { 3 } ) ^ { 2 } + a - \frac { 1 } { 3 } .$

故当 $a = - \frac { 1 } { 3 }$ 时， ${ \bf g } ^ { \prime } { \bf \Pi } ( { \bf x } ) \geq 0$

又 ${ \textbf { \textit { g } } } ( 0 ) = 0$ ，所以当x≥0时， ${ \textbf { g } } ( { \textbf { x } } ) \geq { \textbf { g } } ( 0 ) = 0$ ，即f $( \textsf { x } ) \leq \mathsf { a x }$ ．（9分）

当 $0 < a < \frac { 1 } { 3 }$ 时，令h $( \textsf { x } ) = \sin x - 3 a x$ ，则 ${ \sf h ^ { \prime } } ( { \bf x } ) = { \sf c o s x } - 3 a$

故当 $\mathbf { \delta x } { \in } [ 0 , \mathsf { a r c c o s 3 a } )$ 时， $\mathfrak { h } ^ { \prime } \mathrm { ~ \textcircled { \times } ~ } > 0$

因此h（x）在 $\left[ 0 , \mathsf { a r c c o s 3 a } \right)$ 上单调增加

故当x∈（0，arccos3a）时， ${ \textsf { h } } \left( { \boldsymbol { \mathsf { x } } } \right) > { \mathsf { h } } \left( { \boldsymbol { 0 } } \right) = { \boldsymbol { 0 } }$

即 $\sin x > 3 a x .$

于是，当 $\mathbf { \chi } \mathbf { x } \in \ ( 0 , \ \mathsf { a r c c o s 3 a } )$ 时， $\operatorname { f } \left( \mathbf { x } \right) = { \frac { \sin \mathbf { x } } { 2 + \cos \mathbf { x } } } > { \frac { \sin \mathbf { x } } { 3 } } > \operatorname { a x } .$

当a≤0时，有 $\mathtt { f } ( \frac { \pi } { 2 } ) = \frac { 1 } { 2 } > 0 \Rightarrow \mathtt { a } \cdot \frac { \pi } { 2 }$

因此，a的取值范围是 $[ { \frac { 1 } { 3 } } , ~ + \infty ) ]$ ．（12分）

【点评】本小题主要考查函数的导数、单调性、不等式等基础知识，考查综合利用数学知识分析问题、解决问题的能力