（12分）如图，四边形 A B C D 为菱形， G 为…——2015 高考数学第 18 题答案解析

【考点】LE：棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积；$L Y$ ：平面与平面垂直．
【专题】5F：空间位置关系与距离．
【分析】（I）根据面面垂直的判定定理即可证明：平面 $A E C \perp$ 平面 $B E D$ ；
（II）根据三棱锥的条件公式，进行计算即可。
【解答】证明：（I）∵ 四边形 ABCD 为菱形，
$\therefore \mathrm{AC} \perp \mathrm{BD}$ ，
$\because \mathrm{BE} \perp$ 平面 ABCD ，
$\therefore \mathrm{AC} \perp \mathrm{BE}$ ，
则 $\mathrm{AC} \perp$ 平面 BED ，
$\because \mathrm{ACC} \subset$ 平面AEC，
∴ 平面 $\mathrm{AEC} \perp$ 平面 BED ；
解：（II）设 $A B=x$ ，在菱形 $A B C D$ 中，由 $\angle A B C=120^{\circ}$ ，得 $A G=G C=\frac{\sqrt{3}}{2} x, G B=G D=\frac{x}{2}$
$\because \mathrm{BE} \perp$ 平面 ABCD ，
$\therefore B E \perp B G$ ，则 $\triangle E B G$ 为直角三角形，

$\therefore \mathrm{EG}=\frac{1}{2} \mathrm{AC}=\mathrm{AG}=\frac{\sqrt{3}}{2} \mathrm{x}$ ，
则 $\mathrm{BE}=\sqrt{\mathrm{EG}^{2}-\mathrm{BG}^{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2} \mathrm{x}$ ，
$\because$ 三棱锥 $\mathrm{E}-\mathrm{ACD}$ 的体积 $\mathrm{V}=\frac{1}{3} \times \frac{1}{2} \mathrm{AC} \cdot \mathrm{GD} \cdot \mathrm{BE}=\frac{\sqrt{6}}{24} \mathrm{x}^{3}=\frac{\sqrt{6}}{3}$ ，
解得 $x=2$ ，即 $A B=2$ ，
$\because \angle A B C=120^{\circ}$ ，
$\therefore A C^{2}=A B^{2}+B C^{2}-2 A B \cdot B C \cos A B C=4+4-2 \times 2 \times 2 \times\left(-\frac{1}{2}\right)=12$ ，
即 $\mathrm{AC}=\sqrt{12}=2 \sqrt{3}$ ，
在三个直角三角形 EBA ， EBD ， EBC 中，斜边 $\mathrm{AE}=\mathrm{EC}=\mathrm{ED}$ ，
$\because \mathrm{AE} \perp \mathrm{EC}, \therefore \triangle \mathrm{EAC}$ 为等腰三角形，
则 $A E^{2}+E C^{2}=A C^{2}=12$ ，
即 $2 A E^{2}=12$ ，
$\therefore A E^{2}=6$ ，
则 $A E=\sqrt{6}$ ，
∴ 从而得 $A E=E C=E D=\sqrt{6}$ ，
$\therefore \triangle \mathrm{EAC}$ 的面积 $\mathrm{S}=\frac{1}{2} \times \mathrm{EA} \cdot \mathrm{EC}=\frac{1}{2} \times \sqrt{6} \times \sqrt{6}=3$ ，
在等腰三角形 EAD 中，过 E 作 $\mathrm{EF} \perp \mathrm{AD}$ 于 F ，
则 $\mathrm{AE}=\sqrt{6}, \mathrm{AF}=\frac{1}{2} \mathrm{AD}=\frac{1}{2} \times 2=1$ ，
则 $E F=\sqrt{(\sqrt{6})^{2}-1^{2}}=\sqrt{5}$ ，
$\therefore \triangle \mathrm{EAD}$ 的面积和 $\triangle \mathrm{ECD}$ 的面积均为 $\mathrm{S}=\frac{1}{2} \times 2 \times \sqrt{5}=\sqrt{5}$ ，
故该三棱锥的侧面积为 $3+2 \sqrt{5}$ ．

【点评】本题主要考查面面垂直的判定，以及三棱锥体积的计算，要求熟练掌握相应的判定定理以及体积公式．