【解答】
（2008•海南）自选题：已知曲线 $C_{1}:\left\{\begin{array}{l}x=\cos \theta \\ y=\sin \theta\end{array}\right.$（ $\theta$ 为参数），曲线 $C_{2}:\left\{\begin{array}{l}x=\frac{\sqrt{2}}{2} t-\sqrt{2} \\ y=\frac{\sqrt{2}}{2} t\end{array}\right.$（t为参数）。
（I）指出 $\mathrm{C}_{1}, \mathrm{C}_{2}$ 各是什么曲线，并说明 $\mathrm{C}_{1}$ 与 $\mathrm{C}_{2}$ 公共点的个数；
（II）若把 $\mathrm{C}_{1}, \mathrm{C}_{2}$ 上各点的纵坐标都压缩为原来的一半，分别得到曲线 $\mathrm{C}_{1}{ }^{\prime}, \mathrm{C}_{2}{ }^{\prime}$ 。写出 $\mathrm{C}_{1}{ }^{\prime}, \mathrm{C}_{2}{ }^{\prime}$的参数方程。 $\mathrm{C}_{1}$ 与 $\mathrm{C}_{2}{ }^{\prime}$ 公共点的个数和 C 与 $\mathrm{C}_{2}$ 公共点的个数是否相同？说明你的理由。
【考点】圆的参数方程；直线与圆锥曲线的关系；直线的参数方程．
【专题】计算题；压轴题．
【分析】（I）先利用公式 $\sin ^{2} \theta+\cos ^{2} \theta=1$ 将参数 $\theta$ 消去，得到圆的直角坐标方程，利用消元法消去参数 t 得到直线的普通方程，再根据圆心到直线的距离与半径进行比较，从而得到 $\mathrm{C}_{1}$ 与 $\mathrm{C}_{2}$ 公共点的个数；
（II）求出压缩后的参数方程，再将参数方程化为普通方程，联立直线方程与圆的方程，利用判别式进行判定即可。
【解答】解：（I） $\mathrm{C}_{1}$ 是圆， $\mathrm{C}_{2}$ 是直线． $\mathrm{C}_{1}$ 的普通方程为 $\mathrm{x}^{2}+\mathrm{y}^{2}=1$ ，
圆心 $\mathrm{C}_{1}(0,0)$ ，半径 $\mathrm{r}=1 . \mathrm{C}_{2}$ 的普通方程为 $\mathrm{x}-\mathrm{y}+\sqrt{2}=0$ 。
因为圆心 $\mathrm{C}_{1}$ 到直线 $\mathrm{x}-\mathrm{y}+\sqrt{2}=0$ 的距离为 1 ，
所以 $\mathrm{C}_{2}$ 与 $\mathrm{C}_{1}$ 只有一个公共点。
（II）压缩后的参数方程分别为 $C_{1}^{\prime}:\left\{\begin{array}{l}x=\cos \theta \\ y=\frac{1}{2} \sin \theta\end{array}\right.$（ $\theta$ 为参数）；
$C_{2}^{\prime}:\left\{\begin{array}{l}x=\frac{\sqrt{2}}{2} t-\sqrt{2} \\ y=\frac{\sqrt{2}}{4} t\end{array}\right.$（t为参数）．
化为普通方程为： $\mathrm{C}_{1}^{\prime}: \mathrm{x}^{2}+4 \mathrm{y}^{2}=1, \mathrm{C}_{2}^{\prime}: \mathrm{y}=\frac{1}{2} \mathrm{x}+\frac{\sqrt{2}}{2}$ ，
联立消元得 $2 x^{2}+2 \sqrt{2} x+1=0$ ，
其判别式 $\Delta=(2 \sqrt{2})^{2}-4 \times 2 \times 1=0$ ，
所以压缩后的直线 $\mathrm{C}_{2}^{\prime}$ 与椭圆 $\mathrm{C}_{1}^{\prime}$ 仍然只有一个公共点，和 $\mathrm{C}_{1}$ 与 $\mathrm{C}_{2}$ 公共点个数相同。
【点评】本题主要考查了圆与直线的参数方程，以及直线圆的位置关系的判定，同时考查了利用判别式进行判定两曲线的公共点，转化与化归的思想方法，属于基础题．