【答案】① $B { = } 6 \sqrt { \frac { m E } { q d } }$ ；②（i） $\nu _ { \scriptscriptstyle 0 } = 9 \sqrt { \frac { q d E } { m } }$ $E ^ { \prime } = 3 6 E$ ；（ii）不会【解析】
【详解】①由题意粒子在电场中做匀加速直线运动，根据动能定理有
$$
q E \cdot 2 d = \frac {1}{2} m v ^ {2}
$$
粒子在磁场中做匀速圆周运动，有
$$
q v B = m \frac {v ^ {2}}{R}
$$
粒子从上边界垂直QN第二次离开电场后，垂直NP再次进入电场，轨迹如图
根据几何关系可知
$$
R = \frac {d}{3}
$$
联立可得
$$
B = 6 \sqrt {\frac {m E}{q d}}
$$
> ②（i）由题意可知，做出粒子在电场和磁场中运动轨迹如图
在磁场中做匀速圆周运动，根据几何关系可知
$$
R _ {1} ^ {2} = (2 d) ^ {2} + (R _ {1} - d) ^ {2}
$$
解得
$$
R _ {1} = \frac {5}{2} d
$$
所以有
$$
\theta = 5 3 ^ {\circ}, \alpha = 3 7 ^ {\circ}
$$
洛伦兹力提供向心力
$$
q v _ {1} B = m \frac {v _ {1} ^ {2}}{R _ {1}}
$$
带电粒子从A点开始做匀加速直线运动，根据动能定理有
$$
q E ^ {\prime} \cdot 2 d = \frac {1}{2} m v _ {1} ^ {2} - \frac {1}{2} m v _ {0} ^ {2}
$$
再一次进入电场后做类似斜抛运动，沿x方向有
$$
2 d = v _ {1} \cos \alpha \cdot t
$$
沿 $\mathbf { y }$ 方向上有
$$
2 d = v _ {1} \sin \alpha \cdot t + \frac {1}{2} a t ^ {2}
$$
其中根据牛顿第二定律有
$$
q E ^ {\prime} = m a
$$
联立以上各式解得
$$
v _ {1} = 1 5 \sqrt {\frac {q d E}{m}}
$$
$$
v _ {0} = 9 \sqrt {\frac {q d E}{m}}
$$
$$
E ^ {\prime} = 3 6 E
$$
（ii）粒子从P到Q 根据动能定理有
$$
q E ^ {\prime} \cdot 2 d = \frac {1}{2} m v _ {2} ^ {2} - \frac {1}{2} m v _ {1} ^ {2}
$$
可得从Q 射出时的速度为
$$
v _ {2} = 3 \sqrt {\frac {4 1 g E d}{m}}
$$
此时粒子在磁场中的半径
$$
R _ {2} = \frac {m v _ {2}}{q B} = \frac {\sqrt {4 1}}{2} d
$$
根据其几何关系可知对应的圆心坐标为
$$
x = \frac {5}{2} d, y = 4 d
$$
而圆心与P的距离为
$$
l = \sqrt {\left(\frac {5}{2} d - 2 d\right) ^ {2} + \left(4 d - 0\right) ^ {2}} = \frac {\sqrt {6 5}}{2} d \neq R _ {2}
$$
故不会再从P点进入电场。
