若过点（2，1）的圆与两坐标轴都相切，则圆心到直线 2 x…——2020 高考数学第 8 题答案解析

【答案】B【解析】【分析】

由题意可知圆心在第一象限，设圆心的坐标为 $\left( a , a \right) , a > 0$ ，可得圆的半径为a，写出圆的标准方程，利用点2,1在圆上，求得实数a 的值，利用点到直线的距离公式可求出圆心到直线 $2 x - y - 3 = 0$ 的距离.

【详解】由于圆上的点(2,1)在第一象限，若圆心不在第一象限，
则圆与至少与一条坐标轴相交，不合乎题意，所以圆心必在第一象限，
设圆心的坐标为 $\scriptstyle ( a , a )$ ，则圆的半径为a，
圆的标准方程为 $\left( x - a \right) ^ { 2 } + \left( y - a \right) ^ { 2 } = a ^ { 2 }$
由题意可得 $\left( 2 - a \right) ^ { 2 } + \left( 1 - a \right) ^ { 2 } = a ^ { 2 }$
可得 $a ^ { 2 } - 6 a + 5 = 0$ ，解得 a =1或 $a = 5$
所以圆心的坐标为(1,1)或(5,5)
圆心到直线 $2 x - y - 3 = 0$ 的距离均为 $d = { \frac { \left| - 2 \right| } { \sqrt { 5 } } } = { \frac { 2 { \sqrt { 5 } } } { 5 } }$
所以，圆心到直线 $2 x - y - 3 = 0$ 的距离为 $\frac { 2 { \sqrt { 5 } } } { 5 }$

故选：B.

【点睛】本题考查圆心到直线距离的计算，求出圆的方程是解题的关键，考查计算能力，属于中等题.