（4 分）（2008 • 山东）设函数 f ( x )=…——2008 高考数学第 13 题答案解析

【解答】
（4 分）（2008 • 山东）设函数 $\mathrm{f}(\mathrm{x})=\mathrm{ax}^{2}+\mathrm{c}(\mathrm{a} \neq 0)$ ，若 $\int_{0}^{1} \mathrm{f}(\mathrm{x}) \mathrm{dx}=\mathrm{f}\left(\mathrm{x}_{0}\right), 0 \leq \mathrm{x}_{0} \leq 1$ ，则 $\mathrm{x}_{0}$ 的值为 $-\frac{\sqrt{3}}{3}$－。
【分析】求出定积分 $\int_{0}{ }^{1} f(x) d x$ ，根据方程 $\mathrm{ax}_{0}{ }^{2}+\mathrm{c}=\int_{0}{ }^{1} \mathrm{f}(\mathrm{x}) d \mathrm{x}$ 即可求解．
【解答】解：$\because f(x)=a x^{2}+c(a \neq 0), \therefore f\left(x_{0}\right)=\int_{0}{ }^{1} f(x) d x=\left[\frac{a x^{3}}{3}+c x\right]_{0}{ }^{1}=\frac{a}{3}+c$ ．又 $\because f\left(x_{0}\right) =\mathrm{ax}_{0}^{2}+\mathrm{c}$ ．
$\therefore \mathrm{x}_{0}{ }^{2}=\frac{1}{3}, \because \mathrm{x}_{0} \in[0,1] \therefore \mathrm{x}_{0}=\frac{\sqrt{3}}{3}$ ．