（本小题满分 13 分） 已知函数 f(x)=ln ^ 2…——2008 高考数学第 20 题答案解析

【解答】
（本小题满分 13 分）

已知函数 $f(x)=\ln ^{2}(1+x)-\frac{x^{2}}{1+x}$ ．
（I）求函数 $f(x)$ 的单调区间；
（II）若不等式 $\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n+a} \leq e$ 对任意的 $n \in \mathrm{~N}^{*}$ 都成立（其中 e 是自然对数的底数）。求 $a$ 的最大值．

解：（I）函数 $f(x)$ 的定义域是 $(-1,+\infty)$ ，
$f^{\prime}(x)=\frac{2 \ln (1+x)}{1+x}-\frac{x^{2}+2 x}{(1+x)^{2}}=\frac{2(1+x) \ln (1+x)-x^{2}-2 x}{(1+x)^{2}}$.
设 $g(x)=2(1+x) \ln (1+x)-x^{2}-2 x$ ，则 $g^{\prime}(x)=2 \ln (1+x)-2 x$ ．
令 $h(x)=2 \ln (1+x)-2 x$ ，则 $h^{\prime}(x)=\frac{2}{1+x}-2=\frac{-2 x}{1+x}$ ．
当 $-10, h(x)$ 在 $(-1,0)$ 上为增函数，

当 $\mathrm{x}>0$ 时，$h^{\prime}(x)<0, h(x)$ 在 $(0,+\infty)$ 上为减函数．

所以 $h(x)$ 在 $x=0$ 处取得极大值，而 $h(0)=0$ ，所以 $g^{\prime}(x)<0(x \neq 0)$ ，

函数 $g(x)$ 在 $(-1,+\infty)$ 上为减函数．

于是当 $-1g(0)=0$ ，

当 $\mathrm{x}>0$ 时，$g(x)

所以，当 $-10, f(x)$ 在 $(-1,0)$ 上为增函数．

当 $\mathrm{x}>0$ 时，$f^{\prime}(x)<0, f(x)$ 在 $(0,+\infty)$ 上为减函数．

故函数 $f(x)$ 的单调递增区间为 $(-1,0)$ ，单调递减区间为 $(0,+\infty)$ ．
（II）不等式 $\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n+a} \leq e$ 等价于不等式 $(n+a) \ln \left(1+\frac{1}{n}\right) \leq 1$ 。由 $1+\frac{1}{n}>1$ 知，
$a \leq \frac{1}{\ln \left(1+\frac{1}{n}\right)}-n$ ．设 $G(x)=\frac{1}{\ln (1+x)}-\frac{1}{x}, x \in(0,1]$ ，则
$G^{\prime}(x)=-\frac{1}{(1+x) \ln ^{2}(1+x)}+\frac{1}{x^{2}}=\frac{(1+x) \ln ^{2}(1+x)-x^{2}}{x^{2}(1+x) \ln ^{2}(1+x)}$.

由（I）知， $\ln ^{2}(1+x)-\frac{x^{2}}{1+x} \leq 0$ ，即 $(1+x) \ln ^{2}(1+x)-x^{2} \leq 0$ ．
所以 $G^{\prime}(x)<0, x \in(0,1]$ ，于是 $G(x)$ 在 $(0,1]$ 上为减函数．
故函数 $G(x)$ 在 $(0,1]$ 上的最小值为 $G(1)=\frac{1}{\ln 2}-1$ ．
所以 $a$ 的最大值为 $\frac{1}{\ln 2}-1$ ．