（12分）在平面四边形ABCD中， A D C = 9 0…——2018 高考数学第 17 题答案解析

【考点】HT：三角形中的几何计算

【专题】11：计算题；31：数形结合；49：综合法；58：解三角形

【分析】（1）由正弦定理得 $\frac { 2 } { \sin \angle A D B } = \frac { 5 } { \sin 4 5 ^ { \circ } }$ ，求出 $\sin \angle A D B = \frac { \sqrt { 2 } } { 5 }$ ，由此能求出 $\cos \angle A D B$ ；

> ②由 $\angle A D C = 9 0 ^ { \circ }$ ，得 $\cos \angle B D C = \sin \angle A D B = \frac { \sqrt { 2 } } { 5 }$ ，再由 ${ \mathsf { D C } } { = } 2 \sqrt 2$ ，利用余弦定理能求出BC

【解答】解：（1） $\because \angle A D C = 9 0 ^ { \circ }$ $\angle A = 4 5 ^ { \circ }$ ，AB=2，BD=5

∴由正弦定理得： $\frac { A B } { \sin \angle A D B } = \frac { B D } { \sin \angle A }$ ，即 $\frac { 2 } { \sin \angle A D B } = \frac { 5 } { \sin 4 5 ^ { \circ } } ,$

$$ \therefore \sin \angle A D B = \frac { 2 \sin 4 5 ^ { \circ } } { 5 } = \frac { \sqrt { 2 } } { 5 } , $$

$$ \because A B < B D , \therefore \angle A D B < \angle A , $$

$$ \therefore \cos \angle A D B = \sqrt { 1 - ( \frac { \sqrt { 2 } } { 5 } ) ^ { 2 } } = \frac { \sqrt { 2 3 } } { 5 } . $$

> ② $\because \angle A D C = 9 0 ^ { \circ } , \therefore \cos \angle B D C = \sin \angle A D B = \frac { \sqrt { 2 } } { 5 } ,$

$$ \because D C = 2 \sqrt { 2 } , $$

$$ \therefore B C = \sqrt { B D ^ { 2 } + D C ^ { 2 } - 2 \times B D \times D C \times \cos \angle B D C } $$

$$ = \sqrt { 2 5 + 8 - 2 \times 5 \times 2 \sqrt { 2 } \times \frac { \sqrt { 2 } } { 5 } } = 5 . $$

【点评】本题考查三角函数中角的余弦值、线段长的求法，考查正弦定理、余弦定理等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题