2009_quanguo_old_i
12．（5分）已知椭圆C： $\frac { \mathbf { x } ^ { 2 } } { 2 } + y ^ { 2 } = 1$ 的右焦点为F，右准线为l，点A∈l，线段AF交C 于点B，若 $\overrightarrow { F A } = 3 \overrightarrow { F B }$ ，则 $\left| \begin{array} { c } { { \overrightarrow { { \sf A F } } } } \end{array} \right| =$ （ A $\sqrt { 2 }$ B．2 C $\sqrt { 3 }$ D．3
A
用 3 道相关题确认基础和中等变式会到哪一步。
【考点】K4：椭圆的性质
【专题】11：计算题；16：压轴题
【分析】过点B作BM⊥x轴于M，设右准线l与x轴的交点为N，根据椭圆的性质可 知FN=1，进而根据 $\overrightarrow { \ F _ { \mathbb { A } } } = 3 \overrightarrow { \ F \mathbb { B } }$ ，求出BM，AN，进而可得 $\left| \mathsf { A F } \right|$
【解答】解：过点B作BM⊥x轴于M，
并设右准线l与x轴的交点为N，易知 $\vert F N = 1$
由题意 $\overrightarrow { F A } = 3 \overrightarrow { F B }$
故 $F M = \frac { 1 } { 3 }$ ，故B点的横坐标为 $\frac { 4 } { 3 }$ ，纵坐标为 $\pm \frac { 1 } { 3 }$
即 $B M = \frac { 1 } { 3 }$
故 $\mathsf { A N } = 1$
∴ $\left| \mathbb { A } \mathbb { F } \right| = \sqrt { 2 } .$
故选：A
【点评】本小题考查椭圆的准线、向量的运用、椭圆的定义，属基础题