2018 高考数学第 20 题答案解析

20．（14 分）设 n 为正整数，集合 $\mathrm{A}=\left\{\alpha \mid \alpha=\left(\mathrm{t}_{1}, \mathrm{t}_{2}, \ldots \mathrm{t}_{\mathrm{n}}\right), \mathrm{t}_{\mathrm{k}} \in\{0,1\}, \mathrm{k}=1\right.$ ， $2, \ldots, n\}$ ，对于集合 $A$ 中的任意元素 $\alpha=\left(x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n}\right)$ 和 $\beta=\left(y_{1}\right.$ ， $\mathrm{y}_{2}, \ldots \mathrm{y}_{\mathrm{n}}$ ），记
$\mathrm{M}(\alpha, \beta)=\frac{1}{2}\left[\left(\mathrm{x}_{1}+\mathrm{y}_{1}-\left|\mathrm{x}_{1}-\mathrm{y}_{1}\right|\right)+\left(\mathrm{x}_{2}+\mathrm{y}_{2}-\left|\mathrm{x}_{2}-\mathrm{y}_{2}\right|\right)+\ldots\left(\mathrm{x}_{\mathrm{n}}+\mathrm{y}_{\mathrm{n}}-\left|\mathrm{x}_{\mathrm{n}}-\mathrm{y}_{\mathrm{n}}\right|\right)\right]$
（I）当 $n=3$ 时，若 $\alpha=(1, ~ 1, ~ 0), ~ \beta=(0, ~ 1, ~ 1)$ ，求 $M(\alpha, ~ \alpha)$ 和 $M(\alpha, \beta)$的值；
（II）当 $\mathrm{n}=4$ 时，设 B 是 A 的子集，且满足：对于 B 中的任意元素 $\alpha, \beta$ ，当 $\alpha$ ， $\beta$ 相同时，$M(\alpha, \beta)$ 是奇数；当 $\alpha, \beta$ 不同时，$M(\alpha, \beta)$ 是偶数．求集合 $B$中元素个数的最大值；
（III）给定不小于 2 的 n ，设 B 是 A 的子集，且满足：对于 B 中的任意两个不同的元素 $\alpha, \beta, M(\alpha, \beta)=0$ ，写出一个集合 $B$ ，使其元素个数最多，并说明理由。