20．（14 分）设 n 为正整数，集合 $\mathrm{A}=\left\{\alpha \mid \alpha=\left(\mathrm{t}_{1}, \mathrm{t}_{2}, \ldots \mathrm{t}_{\mathrm{n}}\right), \mathrm{t}_{\mathrm{k}} \in\{0,1\}, \mathrm{k}=1\right.$ ， $2, \ldots, n\}$ ，对于集合 $A$ 中的任意元素 $\alpha=\left(x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n}\right)$ 和 $\beta=\left(y_{1}\right.$ ， $\mathrm{y}_{2}, \ldots \mathrm{y}_{\mathrm{n}}$ ），记
$\mathrm{M}(\alpha, \beta)=\frac{1}{2}\left[\left(\mathrm{x}_{1}+\mathrm{y}_{1}-\left|\mathrm{x}_{1}-\mathrm{y}_{1}\right|\right)+\left(\mathrm{x}_{2}+\mathrm{y}_{2}-\left|\mathrm{x}_{2}-\mathrm{y}_{2}\right|\right)+\ldots\left(\mathrm{x}_{\mathrm{n}}+\mathrm{y}_{\mathrm{n}}-\left|\mathrm{x}_{\mathrm{n}}-\mathrm{y}_{\mathrm{n}}\right|\right)\right]$
（I）当 $n=3$ 时，若 $\alpha=(1, ~ 1, ~ 0), ~ \beta=(0, ~ 1, ~ 1)$ ，求 $M(\alpha, ~ \alpha)$ 和 $M(\alpha, \beta)$的值；
（II）当 $\mathrm{n}=4$ 时，设 B 是 A 的子集，且满足：对于 B 中的任意元素 $\alpha, \beta$ ，当 $\alpha$ ， $\beta$ 相同时，$M(\alpha, \beta)$ 是奇数；当 $\alpha, \beta$ 不同时，$M(\alpha, \beta)$ 是偶数．求集合 $B$中元素个数的最大值；
（III）给定不小于 2 的 n ，设 B 是 A 的子集，且满足：对于 B 中的任意两个不同的元素 $\alpha, \beta, M(\alpha, \beta)=0$ ，写出一个集合 $B$ ，使其元素个数最多，并说明理由。
（14 分）设 n 为正整数，集合 A = α α= (…——2018 高考数学第 20 题答案解析
2018_北京卷 (2018·理)
完整解析 · 逐步详解
【考点】1A：集合中元素个数的最值；F9：分析法和综合法；R8：综合法与分析法（选修）．
【专题】35：转化思想；4G：演绎法；5J：集合．
【分析】（I）直接根据定义计算．
（II）注意到 1 的个数的奇偶性，根据定义反证证明．
（III）根据抽屉原理即可得证。
【解答】解：（I）$M(\alpha, \alpha)=1+1+0=2, M(\alpha, \beta)=0+1+0=1$ ．
（II）考虑数对（ $\mathrm{x}_{\mathrm{k}}, \mathrm{y}_{\mathrm{k}}$ ）只有四种情况：（ 0,0 ）、 $(0,1) ,(1,0) ,(1,1)$ ，相应的 $\frac{x_{k}+y_{k}-\left|x_{k}-y_{k}\right|}{2}$ 分别为 $0 , 0 , 0 , 1$ ，
所以 B 中的每个元素应有奇数个 1 ，
所以 B 中的元素只可能为（上下对应的两个元素称之为互补元素）：
$$ \begin{aligned} & (1,0,0,0) ,(0,1,0,0) ,(0,0,1,0) ,(0,0,0,1), \\ & (0,1,1,1) ,(1,0,1,1) ,(1,1,0,1) ,(1,1,1,0), \end{aligned} $$
对于任意两个只有 1 个 1 的元素 $\alpha, \beta$ 都满足 $\mathrm{M}(\alpha, \beta)$ 是偶数，
所以四元集合 $B=\{(1,0,0,0) ,(0,1,0,0) ,(0,0,1,0) ,(0,0,0$ ，
1）$\}$ 满足题意，
假设 B 中元素个数大于等于 4，就至少有一对互补元素，
除了这对互补元素之外还有至少 1 个含有 3 个 1 的元素 $\alpha$ ，
则互补元素中含有 1 个 1 的元素 $\beta$ 与之满足 $M(\alpha, \beta)=1$ 不合题意，
故 B 中元素个数的最大值为 4 ．
（III） $\mathrm{B}=\{(0,0,0, \ldots 0),(1,0,0 \ldots, 0),(0,1,0, \ldots 0),(0,0$ ， $1 \ldots 0$ ）．．．，
$(0,0,0, \ldots, 1)\}$ ，
此时 $B$ 中有 $n+1$ 个元素，下证其为最大。
对于任意两个不同的元素 $\alpha, \beta$ ，满足 $M(\alpha, \beta)=0$ ，则 $\alpha, \beta$ 中相同位置上的数字不能同时为 1 ，
假设存在 B 有多于 $\mathrm{n}+1$ 个元素，由于 $\alpha=(0,0,0, \ldots, 0)$ 与任意元素 $\beta$ 都有 M $(\alpha, \beta)=0$,
所以除 $(0,0,0, \ldots, 0)$ 外至少有 $\mathrm{n}+1$ 个元素含有 1 ，
根据元素的互异性，至少存在一对 $\alpha, \beta$ 满足 $\mathrm{x}_{\mathrm{i}}=\mathrm{y}_{\mathrm{i}}=1$ ，此时 $\mathrm{M}(\alpha, \beta) \geq 1$ 不满足题意，故 B 中最多有 $\mathrm{n}+1$ 个元素．
【点评】本题主要考查集合的含义与表示、集合的运算以及集合之间的关系．综合性较强，难度较大。