2021_北京卷
17. 已知正方体 $A B C D - A _ { 1 } B _ { 1 } C _ { 1 } D _ { 1 }$ ，点E为 $A _ { 1 } D _ { 1 }$ 中点，直线 $B _ { 1 } C _ { 1 }$ 交平面CDE于点F.
（1）证明：点F为 $B _ { 1 } C _ { 1 }$ 的中点；
（2）若点M 为棱 $A _ { 1 } B _ { 1 }$ 上一点，且二面角 $M - C F - E$ 的余弦值为 $\frac { \sqrt { 5 } } { 3 }$ ，求 $\frac { A _ { 1 } M } { A _ { 1 } B _ { 1 } }$ 的值.
(1) 证明见解析; (2) $\frac { A _ { 1 } M } { A _ { 1 } B _ { 1 } } = \frac { 1 } { 2 }$
用 3 道相关题确认基础和中等变式会到哪一步。
【答案】（1）证明见解析；（2） $\frac { A _ { 1 } M } { A _ { 1 } B _ { 1 } } = \frac { 1 } { 2 }$
【解析】
【分析】(1)首先将平面CDE进行扩展，然后结合所得的平面与直线 $B _ { 1 } C _ { 1 }$ 的交点即可证得题中的结论；
(2)建立空间直角坐标系，利用空间直角坐标系求得相应平面的法向量，然后解方程即可求得实数λ的值.
【详解】(1)如图所示，取 $B _ { 1 } C _ { 1 }$ 的中点 $F ^ { \prime }$ ，连结 $D E , E F ^ { \prime } , F ^ { \prime } C$
由于 $A B C D - A _ { 1 } B _ { 1 } C _ { 1 } D _ { 1 }$ 为正方体， $E , F ^ { \prime }$ 为中点，故 $E F " \Vert C D$
从而 $E , F ^ { \prime } , C , D$ 四点共面，即平面CDE即平面 $C D E F ^ { \prime }$
据此可得：直线 $B _ { 1 } C _ { 1 }$ 交平面CDE于点 $F ^ { \prime }$ ，
当直线与平面相交时只有唯一的交点，故点F与点 $F ^ { \prime }$ 重合，
即点F为 $B _ { 1 } C _ { 1 }$ 中点.
(2)以点D为坐标原点， $D A , D C , D D _ { 1 }$ 方向分别为x轴，y轴，z轴正方形，建立空间直角坐标系 $D - x y z$
不妨设正方体的棱长为2，设 $\frac { A _ { 1 } M } { A _ { 1 } B _ { 1 } } = \lambda \big ( 0 \leq \lambda \leq 1 \big )$
则： $M \left( 2 , 2 \lambda , 2 \right) , C \left( 0 , 2 , 0 \right) , F \left( 1 , 2 , 2 \right) , E \left( 1 , 0 , 2 \right)$
从而： $\overrightarrow { M C } = \left( - 2 , 2 - 2 \lambda , - 2 \right) , \overrightarrow { C F } = \left( 1 , 0 , 2 \right) , \overrightarrow { F E } = \left( 0 , - 2 , 0 \right)$
设平面MCF的法向量为： $\overrightarrow { m } = \left( x _ { 1 } , y _ { 1 } , z _ { 1 } \right)$ ，则：
$$ \left\{ \begin{array} { c } { \vec { m } \cdot \overrightarrow { M C } = - 2 x _ { 1 } + \left( 2 - 2 \lambda \right) y _ { 1 } - 2 z _ { 1 } = 0 } \\ { \vec { m } \cdot \overrightarrow { C F } = x _ { 1 } + 2 z _ { 1 } = 0 } \end{array} , \right. $$
$z _ { 1 } = - 1$ 可得： $\stackrel { \longrightarrow } { m } = \left( 2 , \frac { 1 } { 1 - \lambda } , - 1 \right)$
设平面CFE的法向量为： $\stackrel { } { n } = ( x _ { 2 } , y _ { 2 } , z _ { 2 } )$ ，则：
$$ \left\{ \begin{array} { l l } { { \vec { n } \cdot \overline { { { F E } } } = - 2 y _ { 2 } = 0 } } \\ { { \vec { n } \cdot \overline { { { C F } } } = x _ { 2 } + 2 z _ { 2 } = 0 } } \end{array} , \right. $$
区 $z _ { 1 } = - 1$ 可得： $\stackrel { } { n } = ( 2 , 0 , - 1 )$
从而： $\stackrel { \longrightarrow } { m } \cdot \stackrel { } { n } = 5 , | \stackrel { \longrightarrow } { m } | = \sqrt { 5 + ( \frac { 1 } { 1 - \lambda } ) ^ { 2 } } , | \stackrel { } { n } | = \sqrt { 5 }$
则： $\cos \left. \overrightarrow { m } , \overrightarrow { n } \right. = \frac { \overrightarrow { m } \cdot \overrightarrow { n } } { \left| \overrightarrow { m } \right| \times \left| \overrightarrow { n } \right| } = \frac { 5 } { \sqrt { 5 + \left( \frac { 1 } { 1 - \lambda } \right) ^ { 2 } } \times \sqrt { 5 } } = \frac { \sqrt { 5 } } { 3 }$
整理可得： $\left( \lambda - 1 \right) ^ { 2 } = \frac 1 4$ ，故 $\lambda = \frac { 1 } { 2 } ( \lambda = \frac { 3 } { 2 }$ 舍去）.
【点睛】本题考查了立体几何中的线面关系和二面角的求解问题，意在考查学生的空间想象能力和逻辑推理能力，对于立体几何中角的计算问题，往往可以利用空间向量法，通过求解平面的法向量，利用向量的夹角公式求解.