【答案】①$a_{2}=2, a_{3}=0, a_{4}=2$
> ②$a_{1}=1$ ，或 $a_{1}=2+\sqrt{2}$
> ③$a_{1}=1$ ，且 $a_{n}=1$
【解析】①由 $a_{n+1}=f\left(a_{n}\right) \Rightarrow a_{n+1}=2-\left|a_{n}\right| \cdot a_{1}=0 \Rightarrow a_{2}=2, a_{3}=0, a_{4}=2$
> ②$\because a_{1}, a_{2}, a_{3}$ 成等比 $\Rightarrow a_{3}=\frac{a_{2}{ }^{2}}{a_{1}}=2-\left|a_{2}\right| \Rightarrow a_{2}{ }^{2}=a_{1}\left(2-\left|a_{2}\right|\right)$ ，且 $a_{2}=2-\left|a_{1}\right|$
$\Rightarrow\left(2-\left|a_{1}\right|\right)^{2}=a_{1}\left[2-\left|2-\left|a_{1}\right|\right|\right] \Rightarrow\left(2-a_{1}\right)^{2}=a_{1}\left[2-\left|2-a_{1}\right|\right]$
分情况讨论如何：
当 $2-a_{1} \geq 0$ 时，$\left(2-a_{1}\right)^{2}=a_{1}\left[2-\left(2-a_{1}\right)=a_{1}^{2} \Rightarrow a_{1}=1\right.$ ，且 $a_{1} \leq 2$
当 $2-a_{1}<0$ 时，$\left(2-a_{1}\right)^{2}=a_{1}\left[2-\left(a_{1}-2\right)=a_{1}\left(4-a_{1}\right) \Rightarrow 2 a_{1}^{2}-8 a_{1}+4=0 \Rightarrow a_{1}^{2}-4 a_{1}+4=2\right.$
$\Rightarrow 2 a_{1}^{2}-8 a_{1}+4=0 \Rightarrow\left(a_{1}-2\right)^{2}=2 \Rightarrow a_{1}=2+\sqrt{2}$ ，且 $a_{1} \geq 2$
综上，$a_{1}=1$ ，或 $a_{1}=2+\sqrt{2}$
> （3）假设存在公差为 $d$ 的等差数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 满足题意，则：$\forall n \in N^{*}, a_{n+1}=2-\left|a_{n}\right|=a_{n}+d$
$\Rightarrow 2-d=a_{n}+\left|a_{n}\right|$ 。讨论如下：
当 $a_{n}=m$ 即数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 为常数数列时，$d=0,2=2 a_{n} \Rightarrow a_{n}=1 \Rightarrow a_{1}=1$
当数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 不是常数数列时 $\Rightarrow a_{n}<0,2-d=0 \Rightarrow d=2 \Rightarrow \exists a_{n}>0$ ，所以不满足题意。
综上，存在 $a_{1}=1$ 的等差数列 $\left\{a_{n}\right\}$ ，且 $a_{n}=1$ 满足题意。