2010_退役省自主命题 (2010·理)
（17）（本小题满分 12 分）
已知函数 $f(x)=\frac{1}{2} \sin 2 x \sin \varphi+\cos ^{2} x \cos \varphi-\frac{1}{2} \sin \left(\frac{\pi}{2}+\varphi\right)(0<\varphi<\pi)$ ，其图象过点 $\left(\frac{\pi}{6}, \frac{1}{2}\right)$ ．
（I）求 $\varphi$ 的值；
（II）将函数 $y=f(x)$ 的图象上各点的横坐标缩短到原来的 $\frac{1}{2}$ ，纵坐标不变，得到函数 $y=g(x)$ 的图象，求函数 $g(x)$ 在 $\left[0, \frac{\pi}{4}\right]$ 上的最大值和最小值。
见解析
用 3 道相关题确认基础和中等变式会到哪一步。
【解答】
本小题主要考查综合运用三角函数公式、三角函数的性质，进行运算、变形、转换和求解的能力，满分 12 分。
解：（I）因为 $f(x)=\frac{1}{2} \sin 2 x \sin \varphi+\cos ^{2} x \cos \varphi-\frac{1}{2} \sin \left(\frac{\pi}{2}+\varphi\right)(0<\varphi<\pi)$
所以 $f(x)=\frac{1}{2} \sin 2 x \sin 2 \varphi+\frac{1+\cos 2 x}{2} \cos \varphi-\frac{1}{2} \cos \varphi$
$=\frac{1}{2} \sin 2 x \sin \varphi+\frac{1}{2} \cos 2 x \cos \varphi$
$=\frac{1}{2}(\sin 2 x \sin \varphi+\cos 2 x \cos \varphi)$
$=\frac{1}{2} \cos (2 x-\varphi)$ ．
又函数图象过点 $\left(\frac{\pi}{6}, \frac{1}{2}\right)$
所以 $\frac{1}{2}=\frac{1}{2} \cos \left(2 \times \frac{\pi}{6}-\varphi\right)$
即 $\cos \left(\frac{\pi}{3}-\varphi\right)=1$ ，
又 $0<\varphi<\pi$
所以 $\varphi=\frac{\pi}{3}$ ．
（II）由（I）知 $f(x)=\frac{1}{2} \cos \left(2 x-\frac{\pi}{2}\right)$ ，将函数 $y=f(x)$ 的图象上各点的横坐标缩短到原来的 $\frac{1}{2}$ ，纵坐标不变，得到函数 $y=g(x)$ 的图象，可知
$g(x)=f(2 x)=\frac{1}{2} \cos \left(4 x-\frac{\pi}{3}\right)$,
因为 $x \in\left[0, \frac{\pi}{4}\right]$
所以 $4 x \in[0, \pi]$
因此 $4 x-\frac{\pi}{3} \in\left[-\frac{\pi}{3}, \frac{2 \pi}{3}\right]$
故 $-\frac{1}{2} \leq \cos \left(4 x-\frac{\pi}{3}\right) \leq 1$
所以 $y=g(x)$ 在 $\left[0, \frac{\pi}{4}\right]$ 上的最大值和最小值分别为 $\frac{1}{2}$ 和 $-\frac{1}{4}$ ．