2021_全国甲卷 (2021·理)
22．在直角坐标系 $x O y$ 中，以坐标原点为极点，$x$ 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 $C$ 的极坐标方程为 $\rho=2 \sqrt{2} \cos \theta$.
（1）将 $C$ 的极坐标方程化为直角坐标方程；
②设点 $A$ 的直角坐标为 $(1,0), M$ 为 $C$ 上的动点，点 $P$ 满足 $\overrightarrow{A P}=\sqrt{2} \overrightarrow{A M}$ ，写出 $P$ 的轨迹 $C_{1}$ 的参数方程，并判断 $C$ 与 $C_{1}$ 是否有公共点．
(1) $(x-\sqrt{2})^{2}+y^{2}=2$; (2) $P$ 的轨迹 $C_{1}$ 的参数方程为 $\left\{\begin{array}{l}x=3-\sqrt{2}+2 \cos \theta \\ y=2 \sin \theta\end{array}\right.$（ $\theta$ 为参数）， $C$ 与 $C_{1}$ 没有公共点．
先把常见基础得分点练稳，再回来处理综合题。
【答案】①$(x-\sqrt{2})^{2}+y^{2}=2$ ；②$P$ 的轨迹 $C_{1}$ 的参数方程为 $\left\{\begin{array}{l}x=3-\sqrt{2}+2 \cos \theta \\ y=2 \sin \theta\end{array}\right.$（ $\theta$ 为参数）， $C$ 与 $C_{1}$ 没有公共点．
【解析】
【分析】（1）将曲线C的极坐标方程化为 $\rho^{2}=2 \sqrt{2} \rho \cos \theta$ ，将 $x=\rho \cos \theta, y=\rho \sin \theta$ 代入可得；
②设 $P(x, y)$ ，设 $M(\sqrt{2}+\sqrt{2} \cos \theta, \sqrt{2} \sin \theta)$ ，根据向量关系即可求得 $P$ 的轨迹 $C_{1}$ 的参数方程，求出两圆圆心距，和半径之差比较可得．
【详解】①由曲线C的极坐标方程 $\rho=2 \sqrt{2} \cos \theta$ 可得 $\rho^{2}=2 \sqrt{2} \rho \cos \theta$ ，将 $x=\rho \cos \theta, y=\rho \sin \theta$ 代入可得 $x^{2}+y^{2}=2 \sqrt{2} x$ ，即 $(x-\sqrt{2})^{2}+y^{2}=2$ ，即曲线 $C$ 的直角坐标方程为 $(x-\sqrt{2})^{2}+y^{2}=2$ ；
②设 $P(x, y)$ ，设 $M(\sqrt{2}+\sqrt{2} \cos \theta, \sqrt{2} \sin \theta)$
$\because \overrightarrow{A P}=\sqrt{2} \overrightarrow{A M}$,
$\therefore(x-1, y)=\sqrt{2}(\sqrt{2}+\sqrt{2} \cos \theta-1, \sqrt{2} \sin \theta)=(2+2 \cos \theta-\sqrt{2}, 2 \sin \theta)$ ，
则 $\left\{\begin{array}{l}x-1=2+2 \cos \theta-\sqrt{2} \\ y=2 \sin \theta\end{array}\right.$ ，即 $\left\{\begin{array}{l}x=3-\sqrt{2}+2 \cos \theta \\ y=2 \sin \theta\end{array}\right.$ ，
故 $P$ 的轨迹 $C_{1}$ 的参数方程为 $\left\{\begin{array}{l}x=3-\sqrt{2}+2 \cos \theta \\ y=2 \sin \theta\end{array}\right.$（ $\theta$ 为参数）
∵ 曲线 $C$ 的圆心为 $(\sqrt{2}, 0)$ ，半径为 $\sqrt{2}$ ，曲线 $C_{1}$ 的圆心为 $(3-\sqrt{2}, 0)$ ，半径为 2 ，
则圆心距为 $3-2 \sqrt{2}, \because 3-2 \sqrt{2}<2-\sqrt{2}, \therefore$ 两圆内含，
故曲线 $C$ 与 $C_{1}$ 没有公共点．
【点睛】关键点睛：本题考查参数方程的求解，解题的关键是设出 $M$ 的参数坐标，利用向量关系求解．