若函数 f(x) = ax^2 - 2x - |x^2 -…——2023 高考数学第 15 题答案解析

【答案】 $(-∞,0)∪(0,1)∪(1,+∞)$

【解析】

【分析】根据绝对值的意义，去掉绝对值，求出零点，再根据根存在的条件即可判断 $a$ 的取值范围.

【详解】（1）当 $x^{2} - ax + 1 \geq 0$ 时， $f(x) = 0 \Leftrightarrow (a - 1)x^{2} + (a - 2)x - 1 = 0$

即 $\left[(a-1)x-1\right](x+1)=0$ ,

若 a=1 时，x=-1，此时 $x^{2}-ax+1\geq0$ 成立；

若 $a \neq 1$ 时， $x = \frac{1}{a - 1}$ 或 $x = -1$ ，

若方程有一根为 x = -1，则 $1 + a + 1 \geq 0$ ，即 $a \geq -2$ 且 $a \neq 1$ ；

若方程有一根为 $x = \frac{1}{a - 1}$ ，则 $\left(\frac{1}{a - 1}\right)^2 - a \times \frac{1}{a - 1} + 1 \geq 0$ ，解得： $a \leq 2$ 且 $a \neq 1$ ；

若 $x = \frac{1}{a - 1} = -1$ 时， $a = 0$ ，此时 $1 + a + 1 \geq 0$ 成立.

> ② 当 $x^{2}-ax+1<0$ 时， $f(x)=0\Leftrightarrow(a+1)x^{2}-(a+2)x+1=0$

即 $\left[(a+1)x-1\right](x-1)=0$ ，

若 a = -1 时，x = 1，显然 $x^{2} - ax + 1 < 0$ 不成立；

若 $a \neq -1$ 时， $x = 1$ 或 $x = \frac{1}{a + 1}$ ，

若方程有一根为 x=1，则 $1-a+1<0$ ，即 a>2；

若方程有一根为 $x = \frac{1}{a + 1}$ ，则 $\left(\frac{1}{a + 1}\right)^2 - a \times \frac{1}{a + 1} + 1 < 0$ ，解得： $a < -2$ ；

若 $x = \frac{1}{a + 1} = 1$ 时， $a = 0$ ，显然 $x^{2} - ax + 1 < 0$ 不成立；

综上，

当 $a < -2$ 时，零点为 $\frac{1}{a + 1}$ ， $\frac{1}{a - 1}$ ；

当 $-2 \leq a < 0$ 时，零点为 $\frac{1}{a-1}$ ，-1；

当 $a = 0$ 时，只有一个零点-1；

当0<a<1时，零点为 $\frac{1}{a-1}$ ，-1；

当a=1时，只有一个零点-1；

当 $1<a\leq2$ 时，零点为 $\frac{1}{a-1}$ ，-1；

当a>2时，零点为1,-1.

所以，当函数有两个零点时， $a \neq 0$ 且 $a \neq 1$ .

故答案为： $(-∞,0)∪(0,1)∪(1,+∞)$ .

【点睛】本题的解题关键是根据定义去掉绝对值，求出方程的根，再根据根存在的条件求出对应的范围，然后根据范围讨论根（或零点）的个数，从而解出.