（5分）已知正四面体 A B C D 中， E 是 A B…——2014 高考数学第 4 题答案解析

【考点】LM：异面直线及其所成的角．
【专题】5G：空间角．
【分析】由 $E$ 为 $A B$ 的中点，可取 $A D$ 中点 $F$ ，连接 $E F$ ，则 $\angle C E F$ 为异面直线 $C E$ 与 $B D$ 所成角，设出正四面体的棱长，求出 $\triangle C E F$ 的三边长，然后利用余弦定理求解异面直线CE与BD所成角的余弦值。

【解答】解：如图，
取 $A D$ 中点 $F$ ，连接 $E F$ ，$C F$ ，
$\because \mathrm{E}$ 为 AB 的中点，
$\therefore \mathrm{EF} \| \mathrm{DB}$ ，
则 $\angle C E F$ 为异面直线 $B D$ 与CE所成的角，
$\because A B C D$ 为正四面体，$E, F$ 分别为 $A B, A D$ 的中点，

$\therefore \mathrm{CE}=\mathrm{CF}$ ．
设正四面体的棱长为 $2 a$ ，
则 $E F=a$ ，
$\mathrm{CE}=\mathrm{CF}=\sqrt{(2 \mathrm{a})^{2}-\mathrm{a}^{2}}=\sqrt{3} \mathrm{a}$ ．
在 $\triangle C E F$ 中，由余弦定理得：
$\cos \angle \mathrm{CEF}=\frac{\mathrm{CE}^{2}+\mathrm{EF}^{2}-\mathrm{CF}^{2}}{2 \mathrm{CE} \cdot \mathrm{EF}}=\frac{\mathrm{a}^{2}}{2 \times \sqrt{3} \mathrm{a}^{2}}=\frac{\sqrt{3}}{6}$.
故选：B．

【点评】本题考查异面直线及其所成的角，关键是找角，考查了余弦定理的应用，是中档题．