如图，在 A B C 中， D 是边 A C 上的点，且…——2011 高考数学第 6 题答案解析

【答案】D

【解答】
（5 分）（2011•天津）如图，在 $\triangle \mathrm{ABC}$ 中， D 是边 AC 上的点，且 $\mathrm{AB}=\mathrm{AD}, 2 \mathrm{AB}=\sqrt{3}$
$\mathrm{BD}, \mathrm{BC}=2 \mathrm{BD}$ ，则 $\operatorname{sinC}$ 的值为

A．$\frac{\sqrt{3}}{3}$
B．$\frac{\sqrt{3}}{6}$
C．$\frac{\sqrt{6}}{3}$
D．$\frac{\sqrt{6}}{6}$

【考点】三角形中的几何计算。
【专题】解三角形。
【分析】根据题中条件，在 $\triangle \mathrm{ABD}$ 中先由余弦定理求出 $\cos \mathrm{A}$ ，利用同角关系可求 $\sin \mathrm{A}$ ，利用正弦定理可求 $\sin \angle \mathrm{BDC}$ ，然后在 $\triangle \mathrm{BDC}$ 中利用正弦定理求解 $\operatorname{sinC}$ 即可
【解答】解：设 $A B=x$ ，由题意可得 $A D=x, B D=\frac{2}{\sqrt{3}} x, B C=\frac{4}{\sqrt{3}} x$
$\triangle \mathrm{ABD}$ 中，由余弦定理可得 $\cos \mathrm{A}=\frac{\mathrm{A} \mathrm{B}^{2}+\mathrm{AD}^{2}-\mathrm{BD}^{2}}{2 \mathrm{AB} \cdot \mathrm{AD}}=\frac{2 \mathrm{x}^{2}-\frac{4 \mathrm{x}^{2}}{3}}{2 \mathrm{x}^{2}}=\frac{1}{3}$

$\therefore \sin \mathrm{A}=\frac{2 \sqrt{2}}{3}$
$\triangle \mathrm{ABD}$ 中，由正弦定理可得 $\frac{\mathrm{AB}}{\sin \angle \mathrm{ADB}}=\frac{\mathrm{BD}}{\sin \mathrm{A}} \Rightarrow \sin \angle \mathrm{ADB}=\frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{BD}} \sin \angle \mathrm{A}=\frac{\mathrm{x}}{\frac{2 \mathrm{x}}{\sqrt{3}}} \times \frac{2 \sqrt{2}}{3}=\frac{\sqrt{6}}{3}$
$\therefore \sin \angle \mathrm{BDC}=\frac{\sqrt{6}}{3}$
$\triangle \mathrm{BDC}$ 中，由正弦定理可得 $\frac{\mathrm{BD}}{\sin \mathrm{C}}=\frac{\mathrm{BC}}{\sin \angle \mathrm{BDC}} \sin \mathrm{C}=\frac{\frac{2 \sqrt{3}}{3} \mathrm{x} \cdot \frac{\sqrt{6}}{3}}{\frac{4 \sqrt{3}}{3}}=\frac{\sqrt{6}}{6}$
故选：D．
【点评】本题主要考查了在三角形中，综合运用正弦定理、余弦定理、同角基本关系式等知识解三角形的问题，反复运用正弦定理、余弦定理，要求考生熟练掌握基本知识，并能灵活选择基本工具解决问题。