过点 M(1,1) 作斜率为 - 1 2 的直线与椭圆 C…——2014 高考数学第 15 题答案解析

【答案】 $\frac{\sqrt{2}}{2}$

【解析】

试题分析：设 $A\left(x_{1}, y_{1}\right), B\left(x_{2}, y_{2}\right)$ ，则由 $\frac{x_{1}{ }^{2}}{a^{2}}+\frac{y_{1}{ }^{2}}{b^{2}}=1 \cdot \frac{x_{2}{ }^{2}}{a}+\frac{y_{2}{ }^{2}}{b^{2}}=1$ ，两式相减变形得：
$\frac{\left(x_{1}-x_{2}\right)\left(x_{1}+x_{2}\right)}{a^{2}}+\frac{\left(y_{1}-y_{2}\right)\left(y_{1}+y_{2}\right)}{b^{2}}=0$ 即 $\frac{2}{a^{2}}+\frac{-\times 2 \frac{1}{2}}{b^{2}}=0, a^{2}=2 b^{2}$ ，从而 $a^{2}=2 c^{2}, e=\frac{\sqrt{2}}{2}$ ．
考点：点差法，椭圆离心率