（5分） ( x y - y x )^ 8 的展开式中 x…——2014 高考数学第 13 题答案解析

【考点】DA：二项式定理．
【专题】5P：二项式定理。
【分析】先求出二项式展开式的通项公式，再令 $x$ 、 $y$ 的幂指数都等于 2 ，求得 $r$的值，即可求得展开式中 $x^{2} y^{2}$ 的系数。

【解答】解：$\left(\frac{x}{\sqrt{y}}-\frac{y}{\sqrt{x}}\right)^{8}$ 的展开式的通项公式为 $T_{r+1}=C_{8}^{r} \bullet(-1)^{r} \bullet\left(\frac{x}{\sqrt{y}}\right)^{8-r} \bullet$

$$ \left(\frac{y}{\sqrt{x}}\right)^{r}=C_{8}^{r} \cdot(-1) r \cdot x^{8 \frac{3 r}{2} \cdot y^{\frac{3 r}{2}-4}} $$

令 $8-\frac{3 r}{2}=\frac{3 r}{2}-4=2$ ，求得 $r=4$ ，
故展开式中 $x^{2} y^{2}$ 的系数为 $c_{8}^{4}=70$ ，
故答案为： 70 ．
【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项式系数的性质，二项式展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，属于中档题。