已知a>0，b>0，且a+b=1，则（）——2020 高考数学第 11 题答案解析

【答案】ABD
【解析】
【分析】

根据a b+ =1，结合基本不等式及二次函数知识进行求解.

【详解】对于A， $a ^ { 2 } + b ^ { 2 } = a ^ { 2 } + { \bigl ( } 1 - a { \bigr ) } ^ { 2 } = 2 a ^ { 2 } - 2 a + 1 = 2 { \Bigg ( } a - { \frac { 1 } { 2 } } { \Bigg ) } ^ { 2 } + { \frac { 1 } { 2 } } \geq { \frac { 1 } { 2 } } ,$

当且仅当 $a = b = { \frac { 1 } { 2 } }$ 时，等号成立，故A正确；

对于B， $a - b = 2 a - 1 > - 1$ ，所以 $2 ^ { a - b } > 2 ^ { - 1 } = \frac { 1 } { 2 }$ ，故B正确；

$$ \log _ { 2 } a + \log _ { 2 } b = \log _ { 2 } a b \leq \log _ { 2 } \left( { \frac { a + b } { 2 } } \right) ^ { 2 } = \log _ { 2 } { \frac { 1 } { 4 } } = - 2 $$

当且仅当 $a = b = { \frac { 1 } { 2 } }$ 时，等号成立，故C不正确；

$$ \left( { \sqrt { a } } + { \sqrt { b } } \right) ^ { 2 } = 1 + 2 { \sqrt { a b } } \leq 1 + a + b = 2 $$

所以 ${ \sqrt { a } } + { \sqrt { b } } \leq { \sqrt { 2 } }$ ，当且仅当 $a = b = { \frac { 1 } { 2 } }$ 时，等号成立，故D正确；

【点睛】本题主要考查不等式的性质，综合了基本不等式，指数函数及对数函数的单调性，侧重考查数学运算的核心素养.