已知曲线C：y= 22x，D为直线y= 12-上的动点，过…——2019 高考数学第 21 题答案解析

【答案】(1)见详解；(2) 3或4 2.
【解析】
【分析】
可用解析法和几何法证明。解析法可设A，B两点的坐标分别为 1 1( , )x y， 2 2( , )x y，然后求
出A，B两点处的切线，两条切线交于直线 $12y= -$之上，所以交点的纵坐标为 12-
联立方程可解 1x和 2x的关系。之后用两点式求出直线 AB方程，最后根据直线 AB方程
求出它所过的定点.(2)应用四边形面积公式，代入化简出关于 1x和 2x的对称式。然后分情

况讨论求解。如果不知道四面下面积公式则可以将四边形分成两个三角形求面积之后做和
，但会稍微麻烦一些。（此题若用向量积的概念则更为容易）
【详解】(1)证明：设A，B两点的坐标分别为 1 1( , )x y， 2 2( , )x y，因为 $212y x=$，所以
'$y x=$，
则切线DA为： $1 1 1( )y y x x x- = ----------$①，切线DB为： $2 2 2( )y y x x x- = ---------$②，
代入 $212y x=$得
2 21 1 12 22 2 21212y x x x xy x x x xì- = -ïïíï- = -ïî①②
， 2 1x x´ - ´①②得
$2 1 1 2 1 21( ) ( ) 02x x y x x x x- + - =$，因为 1 20x x- ¹故消去得交点的纵坐标 $1 212y x x=$，
因为DA和DB的交点D为直线 $12y= -$上的动点，所以有 $1 21 12 2y x x= = -$， $1 21x x= -$，
直线AB为 $1 12 1 2 1y y x xy y x x- -=- -$，点A，B在曲线
$22xy=$上，则有
$2112 22 12 122 2xyx xx xx x--=--$
，整理
得
$211 2 1 1 2 1 2 1 21 1 1( )( ) ( ) ( )2 2 2 2xy x x x x x x x x x x x x= + - + = - + + = + +$，即
$1 21( ) ( ) 02x x x y+ + - =.$当 $0x=$， $12y=$时无论 1x, 2x取何值时，此等式均成立。因此直
线AB过定点 1(0, )2，得证。
(2)设AB的中点为G，由题得G点坐标为 1 2 1 2( , )2 2x x y y+ +，则
$1 2 1 25( 0, )2 2 2x x y yEG+ += - -uuu v$
，又 $1 2 1 2( , )BA x x y y= - -uuu v$
.由题意知$EG BA^$，即
0EG BA× =uuu v uuu v
即 $1 2 1 21 2 1 25( )( ) ( )( ) 02 2 2x x y yx x y y+ +- + - - =.$代入 $212y x=$得
2 22 2 2 21 21 2 1 21 5 1( ) ( ) ( ) 02 4 2 2x xx x x x+- + - × - =整理得 2 21 2 1 2 1 2( )( )( 6) $0x x x x x x- + + - =.$
因 1 20x x- ¹，故 2 21 2 1 2( )( 6) $0x x x x+ + - =.$所以 $1 20x x+ =$或 $2 21 26 0x x+ - =.$

由第一问中
2 21 1 12 22 2 21212y x x x xy x x x xì- = -ïïíï- = -ïî①②
，为这里的( , )x y为D点坐标,然而 $12y=,$故
$2 21 1 11 12 2x x x x- - = -$，所以 $111 1( )2x xx= -$，又因为 $1 21x x= -.$所以
$1 21 1 1 21 11 1 1 1( ) ( ) ( )2 2 2x xx x x x xx x-= - = - = +$。即D坐标为 1 21 1( ( ), )2 2x x+ -.
那么 $1 2 1 2( , )BA x x y y= - -uuu v$
, $1 21( ( ), 3)2ED x x= +uuu v$
.
设q为B Auuu v与E Duuu v的夹角，那么有
$2 22 2 2 22 2 2 2 21 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 21 1 1sin (1 cos ) ( )2 2 21 1 1[( ) ( ) ] [ ( ) 9] [( ) ( ) 3( )]2 4 2ADBES BA ED BA ED BA ED BA EDx x y y x x x x x x y yq q=$ × = × - = × - ×= - + - × + + - - × + - -uuuv uuuu vuuu v uuu v四边形
代入 $212y x=$进行化简有
$42 21 21 2 1 2( )1( ) [9 3( ) ]2 16ADBEx xS x x x x+= -$ × + + +四边形
若 $1 20x x+ =$，则 $2 21 2 1 2 1 21 3( ) 9 ( ) 4 32 2ADBES x x x x x x= -$ × = + - =四边形.
若 $2 21 26 0x x+ - =$，则 $2 2 21 2 1 2 1 2( ) 2 4x x x x x x+ = + + =, 2 2 21 2 1 2 1 2( ) 2 8x x x x x x- = + - =$
代入有
$21 3 48 (9 4 ) 4 22 2 16ADBES=$ × + × + =四边形.
所以四边形ADBE的面积为3或4 2.
【点睛】此题第一问是圆锥曲线中的定点问题和第二问是求面积类型，属于常规题型，按
部就班的求解就可以。思路较为清晰，但计算量不小。