（15分）（2015•浙江）如图，已知抛物线 C _ 1…——2015 高考数学第 19 题答案解析

解答：解：（I）由直线 PA 的斜率存在，设切线 PA 的方程为： $\mathrm{y}=\mathrm{k}(\mathrm{x}-\mathrm{t})(\mathrm{k} \neq 0)$ ，联立 $\left\{\begin{array}{l}y=\frac{1}{4} x^{2} \\ y=k(x-t)\end{array}\right.$ ，
化为 $x^{2}-4 k x+4 k t=0$ ，
$\because \triangle=16 \mathrm{k}^{2}-16 \mathrm{kt}=0$ ，解得 $\mathrm{k}=\mathrm{t}$ ，
$\therefore \mathrm{x}=2 \mathrm{t}, \quad \therefore \mathrm{A}\left(2 \mathrm{t}, \mathrm{t}^{2}\right)$ 。
圆 $\mathrm{C}_{2}$ 的圆心 $\mathrm{D}(0,1)$ ，设 $\mathrm{B}\left(\mathrm{x}_{0}, \mathrm{y}_{0}\right)$ ，由题意可知：点 B 与 O 关于直线 PD 得出，
$\therefore\left\{\begin{array}{l}\frac{y_{0}}{2}=-\frac{x_{0}}{2 t}+1 \\ x_{0} t-y_{0}=0\end{array}\right.$ ，解得 $\left\{\begin{array}{c}x_{0}=\frac{2 t}{1+t^{2}} \\ y_{0}=\frac{2 t^{2}}{1+t^{2}}\end{array}\right.$ ．
$\therefore B\left(\frac{2 t}{1+t^{2}}, \frac{2 t^{2}}{1+t^{2}}\right)$ ．

（II）由（I）可得：$k_{A B}=\frac{\frac{2 t^{2}}{1+t^{2}}-t^{2}}{\frac{2 t}{1+t^{2}}-2 t}=\frac{t^{2}-1}{2 t}$ ，直线 $A B$ 的方程为：$y-t^{2}= \frac{t^{2}-1}{2 t}(x-2 t)$ ，化为 $\left(t^{2}-1\right) x-2 t y+2 t=0$ ，
∴ 点 $P$ 到直线 $A B$ 的距离 $d=\frac{\left|\left(t^{2}-1\right) t+2 t\right|}{\sqrt{\left(t^{2}-1\right)^{2}+(-2 t)^{2}}}=\frac{t^{3}+t}{t^{2}+1}=t$ ，
又 $|A B|=\sqrt{\left(\frac{2 t}{1+t^{2}}-2 t\right)^{2}+\left(\frac{2 t^{2}}{1+t^{2}}-t^{2}\right)^{2}}=t^{2}$ ．
$\therefore \mathrm{S}_{\triangle \mathrm{PAB}}=\frac{1}{2}|\mathrm{AB}| \cdot \mathrm{d}=\frac{1}{2} \mathrm{t}^{3}$ ．
点评：本小题主要考查抛物线、直线与抛物线及其圆的位置关系及其性质、垂直平分线的性质、点到直线的距离公式等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想、函数与方程思想，属于难题。