（20）（本题 14 分）如图，矩形 $A B C D$ 和梯形 $B E F C$ 所在平面互相垂直，$\angle B C F=\angle C E F=90^{\circ}, A D= \sqrt{3}, E F=2$.
（I）求证：$A E / /$ 平面 $D C F$ ；
（II）当 $A B$ 的长为何值时，二面角 $A-E F-C$ 的大小为 $60^{\circ}$ ？
参考答案空间本题主要考查空间线面关系向量的概念与运算等基础知识，同时考查空间想象能力和推理运算能力。满分 14 分。 **方法一**： （ I ）证明：过点 $E$ 作 $E G \perp C F$ 并 $C F$ 于 $G$ ，连结 $D G$ ，可得四边形 $B C G E$ 为矩形。又 $A B C D$ 为矩形， 所以 $A D \perp / / E G$ ，从而四边形 $A D G E$ 为平行四边形，故 $A E / / D G$ 。 因为 $A E \not \subset$ 平面 $D C F, D G \subset$ 平面 $D C F$ ，所以 $A E / /$ 平面 $D C F$ 。 （II）解：过点 $B$ 作 $B H \perp E F$ 交 $F E$ 的延长线于 $H$ ，连结 $A H$ 。 由平面 $A B C D \perp$ 平面 $B E F G, A B \perp B C$ ，得 $A B \perp$ 平面 $B E F C$ ， 从而 $A H \perp E F$,  所以 $\angle A H B$ 为二面角 $\mathrm{A}-\mathrm{EF}-\mathrm{C}$ 的平面角。 在 Rt $\triangle E F G$ 中，因为 $E G=A D=\sqrt{3}, E F=2$ ，所以 $\angle C F E=60^{\circ}, F G=1$ ． 又因为 $C E \perp E F$ ，所以 $C F=4$ ， 从而 $$ B E=C G=3 \text { 。 } $$ 于是 $B H=B E \cdot \sin \angle B E F=\frac{3 \sqrt{3}}{2}$ ． 因为 $A B=B H \cdot \tan \angle A H B$ ， 所以当 $A B$ 为 $\frac{9}{2}$ 时，二面角 $A-E F-G$ 的大小为 $60^{\circ}$ ． **方法二**： 如图，以点 $C$ 为坐标原点，以 $C B 、 C F$ 和 $C D$ 分别 作为 $x$ 轴、 $y$ 轴和 $z$ 轴，建立空间直角坐标系 $C-x y z$ 。 设 $A B=a, B E=b, C F=c$ ， 则 $C(0,0,0), A(\sqrt{3}, 0, a), B(\sqrt{3}, 0,0)$ ，  $E(\sqrt{3}, b, 0), F(0, c, 0)$. （ I ）证明： $\overrightarrow{A E}=(0, b,-a), \overrightarrow{C B}=(\sqrt{3}, 0,0), \overrightarrow{B E}=(0, b, 0)$ ， 所以 $\overrightarrow{C B} \bullet \overrightarrow{A E}=0, \overrightarrow{C B} \bullet \overrightarrow{B E}=0$ ，从而 $C B \perp A E, C B \perp B E$ ， 所以 $C B \perp$ 平面 $A B E$ 。 因为 $G B \perp$ 平面 $D C F$ ，所以平面 $A B E / /$ 平面 $D C F$ 故 $A E / /$ 平面 $D C F$ （II）解：因为 $\overrightarrow{E F}=(-\sqrt{3}, c-b, 0), \overrightarrow{C E}=(\sqrt{3}, b, 0)$ ， 所以 $\overrightarrow{E F} \cdot \overrightarrow{C E}=0 \cdot|\overrightarrow{E F}|=2$ ，从而 $\left\{\begin{array}{l}-3+b(c-b)=0, \\ \sqrt{3+(c-b)^{2}}=2 .\end{array}\right.$ 解得 $b=3, c=4$ ． 所以 $E(\sqrt{3}, 3,0) . F(0,4,0)$ ． 设 $n=(1, y, z)$ 与平面 $A E F$ 垂直， 则 $\mathrm{n} \cdot \overrightarrow{A E}=0, \mathrm{n} \cdot \overrightarrow{E F}=0$ ， 解得 $\quad n=\left(1, \sqrt{3}, \frac{3 \sqrt{3}}{a}\right)$ ． 又因为 $B A \perp$ 平面 $B E F C, \overrightarrow{B A}=(0,0, a)$ ， 所以 $|\cos \langle n, \overrightarrow{B A}\rangle|=\frac{|\overrightarrow{B A} \cdot n|}{|\overrightarrow{B A}| \cdot|n|}=\frac{3 \sqrt{3} a}{a \sqrt{4 a^{2}+27}}=\frac{1}{2}$ ， 得到 $\quad a=\frac{9}{2}$ ． 所以当 $A B$ 为 $\frac{9}{2}$ 时，二面角 $A-E F C$ 的大小为 $60^{\circ}$ ．
