2008 浙江卷 · 文 数学　·　真题与答案解析

（1）已知集合 $A=\{x \mid x>0\}, B=\{x \mid-1 \leq x \leq 2\}$ ，则 $A \cup B=$

（2）函数 $y=(\sin x+\cos x)^{2}+1$ 的最小正周期是

（3）已知 $a, b$ 都是实数，那么＂$a^{2}>b^{2}$＂是＂$a>b$＂的

（4）已知 $\left\{\mathrm{a}_{\mathrm{n}}\right\}$ 是等比数列，$a_{2}=2, a_{5}=\frac{1}{4}$ ，则公比 $\mathrm{q}=$

（5）已知 $a \geq 0, b \geq 0$ ，且 $a+b=2$ ，则

（6）在 $(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)(x-5)$ 的展开式中，含 $x^{4}$ 的项的系数是

（7）在同一平面直角坐标系中，函数 $y=\cos \left(\frac{x}{2}+\frac{3 \pi}{2}\right)(x \in[0,2 \pi\})$ 的图象和直线 $y=\frac{1}{2}$ 的交点个数是

（8）若双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$ 的两个焦点到一条准线的距离之比为 $3: 2$ ，则双曲线的离心率是

（9）对两条不相交的空间直线 $a$ 与 $b$ ，必存在平面 $\alpha$ ，使得

（10）若 $a \geq 0, b \geq 0$ ，且当 $\left\{\begin{array}{l}x \geq 0, \\ y \geq 0, \\ x+y \leq 1\end{array}\right.$ 时，恒有 $a x+b y \leq 1$ ，则以 $\mathrm{a}, \mathrm{b}$ 为坐标的点 $P(a, b)$ 所形成的平 面区域的面积是

（11）已知函数 $f(x)=x^{2}+|x-2|$ ，则 $f(1)=$

（12）若 $\sin \left(\frac{\pi}{2}+\theta\right)=\frac{3}{5}$ ，则 $\cos 2 \theta=$

（13）已知 $F_{1} , F_{2}$ 为椭圆 $\frac{x^{2}}{25}+\frac{y^{2}}{9}=1$ 的两个焦点，过 $F_{1}$ 的直线交椭圆于 $A , B$ 两点若 $\left|F_{2} A\right|+\left|F_{2} B\right|=12$ ，则 $|A B|=$

（14）在 $\triangle A B C$ 中，角 $A , B , C$ 所对的边分别为 $a , b , c$ 。若 $(\sqrt{3} b-c) \cos A=a \cos C$ ，则 $\cos A=$ $\_\_\_\_$ ．

（15）如图，已知球 $O$ 的面上四点 $A , B , C , D, D A \perp$ 平面 $A B C$ 。 $A B \perp B C, D A=A B=B C=\sqrt{3}$ ，则球 $O$ 的体积等于 $\_\_\_\_$。

（16）已知 $a$ 是平面内的单位向量，若向量 $b$ 满足 $b \cdot(a-b)=0$ ，则 $|b|$ 的取值范围是 $\_\_\_\_$。

（17）用 $1,2,3,4,5,6$ 组成六位数（没有重复数字），要求任何相邻两个数字的奇偶性不同，且 1 和 2 相邻。这样的六位数的个数是 $\_\_\_\_$ （用数字作答）

（18）（本题14分） 已知数列 $\left\{x_{n}\right\}$ 的首项 $x_{1}=3$ ，通项 $x_{n}=2^{n} p+n p\left(n \in N^{*}, p, q\right.$ 为常数），且成等差数列。求： （ I ）$p, q$ 的值； （II）数列 $\left\{x_{n}\right\}$ 前 $n$ 项和 $S_{n}$ 的公式。

（19）（本题 14 分）一个袋中装有大小相同的黑球、白球和红球，已知袋中共有 10 个球，从中任意摸出 1 个球，得到黑球的概率是 $\frac{2}{5}$ ；从中任意摸出 2 个球，至少得到 1 个白球的概率是 $\frac{7}{9}$ 。求： （I）从中任意摸出 2 个球，得到的数是黑球的概率； （II）袋中白球的个数。

（20）（本题 14 分）如图，矩形 $A B C D$ 和梯形 $B E F C$ 所在平面互相垂直，$\angle B C F=\angle C E F=90^{\circ}, A D= \sqrt{3}, E F=2$. （I）求证：$A E / /$ 平面 $D C F$ ； （II）当 $A B$ 的长为何值时，二面角 $A-E F-C$ 的大小为 $60^{\circ}$ ？

（21）（本题 15 分）已知 a 是实数，函数 $f(x)=x^{2}(x-a)$ ． （I）若 $f^{1}①=3$ ，求 a 的值及曲线 $y=f(x)$ 在点 $(1, f(1))$ 处的切线方程； （II）求 $f(x)$ 在区间 $[0,2]$ 上的最大值。

（22）（本题 15 分）已知曲线 $C$ 是到点 $P\left(-\frac{1}{2}, \frac{3}{8}\right)$ 和到直线 $y=-\frac{5}{8}$ 距离相等的点的轨迹，$I$ 是过点 $Q(-1,0)$ 的直线， $M$ 是 $C$ 上（不在 1 上）的动点；$A , B$ 在 1 上， $M A \perp l, M B \perp x$ 轴（如图）。 （I）求曲线 $C$ 的方程； （II）求出直线 $l$ 的方程，使得 $\frac{|Q B|^{2}}{|Q A|}$ 为常数。