已知曲线 C: m x^ 2 +n y^ 2 =1 ．——2020 高考数学第 9 题答案解析

【解答】
已知曲线 $C: m x^{2}+n y^{2}=1$ ．
A．若 $m>n>0$ ，则 $C$ 是椭圆，其焦点在 $y$ 轴上
B．若 $m=n>0$ ，则 $C$ 是圆，其半径为 $\sqrt{n}$
C．若 $m n<0$ ，则 $C$ 是双曲线，其渐近线方程为 $y= \pm \sqrt{-\frac{m}{n}} x$

D．若 $m=0, n>0$ ，则 $C$ 是两条直线
【答案】ACD
【解析】

## 【分析】

结合选项进行逐项分析求解，$m>n>0$ 时表示椭圆，$m=n>0$ 时表示圆，$m n<0$ 时表示双曲线， $m=0, n>0$ 时表示两条直线．

【详解】对于 A ，若 $m>n>0$ ，则 $m x^{2}+n y^{2}=1$ 可化为 $\frac{x^{2}}{\frac{1}{m}}+\frac{y^{2}}{\frac{1}{n}}=1$ ，
因为 $m>n>0$ ，所以 $\frac{1}{m}<\frac{1}{n}$ ，
即曲线 $C$ 表示焦点在 $y$ 轴上的椭圆，故A正确；
对于 B ，若 $m=n>0$ ，则 $m x^{2}+n y^{2}=1$ 可化为 $x^{2}+y^{2}=\frac{1}{n}$ ，
此时曲线 $C$ 表示圆心在原点，半径为 $\frac{\sqrt{n}}{n}$ 的圆，故 B 不正确；
对于C，若 $m n<0$ ，则 $m x^{2}+n y^{2}=1$ 可化为 $\frac{x^{2}}{\frac{1}{m}}+\frac{y^{2}}{\frac{1}{n}}=1$ ，
此时曲线 $C$ 表示双曲线，
由 $m x^{2}+n y^{2}=0$ 可得 $y= \pm \sqrt{-\frac{m}{n}} x$ ，故C正确；

对于 D ，若 $m=0, n>0$ ，则 $m x^{2}+n y^{2}=1$ 可化为 $y^{2}=\frac{1}{n}$ ，
$y= \pm \frac{\sqrt{n}}{n}$ ，此时曲线 $C$ 表示平行于 $x$ 轴的两条直线，故D正确；
故选：ACD．
【点睛】本题主要考查曲线方程的特征，熟知常见曲线方程之间的区别是求解的关键，侧重考查数学运算的核心素养。