（13分）（2011•北京）已知函数 f ( x )=(…——2011 高考数学第 18 题答案解析

【考点】利用导数研究函数的单调性；导数在最大值、最小值问题中的应用．
【专题】函数的性质及应用；导数的概念及应用．
【分析】（I）求导，令导数等于零，解方程，跟据 $f^{\prime}(x), f(x)$ 随 $x$ 的变化情况即可求出函数的单调区间；
（II）根据若对于任意的 $\mathrm{x} \in(0,+\infty)$ ，都有 $\mathrm{f}(\mathrm{x}) \leq \frac{1}{\mathrm{e}}$ ，利用导数求函数 $\mathrm{f}(\mathrm{x})$ 在区间（0 ，$+\infty$ ）的最大值，即可求出 k 的取值范围．

【解答】解：（I）$f^{\prime}(x)=2(x-k) \quad e^{\frac{x}{k}}+\frac{1}{k}(x-k)^{2} e^{\frac{x}{k}}=\frac{1}{k}\left(x^{2}-k^{2}\right) e^{\frac{x}{k}}$ ，
令 $f^{\prime}(x)=0$ ，得 $x= \pm k$
当 $k>0$ 时，$f^{\prime}(x) f(x)$ 随 $x$ 的变化情况如下：

所以， $\mathrm{f}(\mathrm{x})$ 的单调递增区间是 $(-\infty,-\mathrm{k})$ ，和 $(\mathrm{k},+\infty)$ ，单调递减区间是 $(-\mathrm{k}, \mathrm{k}$ ）；
当 $k<0$ 时，$f^{\prime}(x) f(x)$ 随 $x$ 的变化情况如下：

所以，$f(x)$ 的单调递减区间是 $(-\infty, k)$ ，和 $(-k,+\infty)$ ，单调递增区间是 $(k,-k$ ；
（II）当 $k>0$ 时，有 $f(k+1)=e^{\frac{k+1}{k}}>\frac{1}{e}$ ，不合题意，
当 $k<0$ 时，由（I）知 $f(x)$ 在 $(0,+\infty)$ 上的最大值是 $f(-k)=\frac{4 k^{2}}{e}$ ，
∴ 任意的 $x \in(0,+\infty), f(x) \leq \frac{1}{e}, \Leftrightarrow f(-\mathrm{k})=\frac{4 \mathrm{k}^{2}}{\mathrm{e}} \leq \frac{1}{\mathrm{e}}$ ，
解得 $-\frac{1}{2} \leqslant k<0$ ，

故对于任意的 $x \in(0,+\infty)$ ，都有 $f(x) \leq \frac{1}{e}, k$ 的取值范围是 $-\frac{1}{2} \leqslant k<0$ ．
【点评】此题是个难题．考查利用导数研究函数的单调性和在闭区间上的最值问题，对方程 $f^{\prime}(x)=0$ 根大小进行讨论，体现了分类讨论的思想方法，特别是（II）的设置，有关恒成立问题一般转化为求函数的最值问题，体现了转化的思想，增加了题目的难度．