设函数 f ( x ) = ( x + a ) ln (…——2024 高考数学第 8 题答案解析

【答案】C

【解析】

【分析】解法一：由题意可知：f x( )的定义域为 $\left( - b , + \infty \right)$ ，分类讨论-a与- -b b,1 的大小关系，结合符号分析判断，即可得 $b = a + 1$ ，代入可得最值；解法二：根据对数函数的性质分析ln( )x b+ 的符号，进而可得x a + 的符号，即可得b a= +1，代入可得最值.

【详解】解法一：由题意可知：f x( )的定义域为 $\left( - b , + \infty \right)$

令 x a+ = 0 解得 x a= - ；令 ln( ) 0x b+ = 解得 x b= -1 ；

若 - £ -a b ，当 $x \in \left( - b , 1 - b \right)$ 时，可知 $x + a > 0 , \ln \left( x + b \right) < 0$

此时f(x)<0，不合题意；

若 $- b < - a < 1 - b$ ，当 $x \in \left( - a , 1 - b \right)$ 时，可知 $x + a > 0 , \ln \left( x + b \right) < 0$

此时 f(x)<0，不合题意；

若 $- a = 1 - b$ ，当 $x \in \left( - b , 1 - b \right)$ 时，可知 $x + a < 0 , \ln \left( x + b \right) < 0$ ，此时 $f ( x ) > 0$

当 $x \in \left[ 1 - b , + \infty \right)$ 时，可知 $x + a \geq 0 , \ln { \bigl ( } x + b { \bigr ) } \geq 0$ ，此时 $f ( x ) \geq 0$ ；

可知若- = -a b1 ，符合题意；

若 - > -a b1 ，当 $x \in \left( 1 - b , - a \right)$ 时，可知 $x + a \left. 0 , \ln \left( x + b \right) \right. 0$

此时f(x)<0，不合题意；

综上所述： - = -a b1 ，即b a= +1，

则 $a ^ { 2 } + b ^ { 2 } = a ^ { 2 } + \left( a + 1 \right) ^ { 2 } = 2 { \Bigg ( } a + { \frac { 1 } { 2 } } { \Bigg ) } ^ { 2 } + { \frac { 1 } { 2 } } \geq { \frac { 1 } { 2 } }$ ，当且仅当 $a = - { \frac { 1 } { 2 } } , b = { \frac { 1 } { 2 } }$ 时，等号成立，

所以 $a ^ { 2 } + b ^ { 2 }$ 的最小值为 $\frac { 1 } { 2 }$ ；

解法二：由题意可知：f x( )的定义域为 $\left( - b , + \infty \right)$

令 x a+ = 0 解得 x a= - ；令 ln( ) 0x b+ = 解得 x b= -1 ；

则当 $x \in \left( - b , 1 - b \right)$ 时， $\ln ( x + b ) < 0$ ，故 $x + a \leq 0$ ，所以 $1 - b + a \leq 0$ ；

$x \in \left( 1 - b , + \infty \right)$ 时， $\ln ( x + b ) > 0$ ，故 $x + a \ge 0$ ，所以 $1 - b + a \geq 0$

故 $1 - b + a = 0$ ， 则 $a ^ { 2 } + b ^ { 2 } = a ^ { 2 } + \left( a + 1 \right) ^ { 2 } = 2 { \Bigg ( } a + { \frac { 1 } { 2 } } { \Bigg ) } ^ { 2 } + { \frac { 1 } { 2 } } \geq { \frac { 1 } { 2 } }$

当且仅当 $a = - { \frac { 1 } { 2 } } , b = { \frac { 1 } { 2 } }$ 时，等号成立，

所以 $a ^ { 2 } + b ^ { 2 }$ 的最小值为 $\frac { 1 } { 2 }$ .

故选：C.

【点睛】关键点点睛：分别求 $x + a = 0$ 、ln( ) 0 x b + = 的根，以根和函数定义域为临界，比较大小分类讨论，结合符号性分析判断.