【考点】Q4：简单曲线的极坐标方程；QH：参数方程化成普通方程
【专题】5S：坐标系和参数方程
【分析】（I）由曲线 ${ \sf C } _ { 2 } \colon ~ \mathsf { \Gamma } \mathsf { \rho } { = } 2 \mathsf { s i n } \Theta$ ，化为 $\scriptstyle 1 0 ^ { 2 } = 2 \ p s i n \theta$ ，把 $\scriptstyle { \left\{ \begin{array} { l l } { \scriptstyle { \mathfrak { p } } ^ { 2 } = \mathbf { x } ^ { 2 } + \mathbf { y } ^ { 2 } } \\ { \mathbf { y } = \boldsymbol { \mathfrak { p } } \sin \theta } \end{array} \right. }$ 代入可得直角坐标方程．同理由 ${ \mathsf { C } } _ { 3 }$ ： $\scriptstyle \rho = 2 { \sqrt { 3 } } c \circ s \theta$ ．可得直角坐标方程，联立解出可得 ${ \sf C } _ { 2 }$ 与 ${ \mathsf { C } } _ { 3 }$ 交点的直角坐标
> ②由曲线 $\mathsf C _ { 1 }$ 的参数方程，消去参数t，化为普通方程： $\scriptstyle \forall = \mathbf { \boldsymbol { x } } \mathbf { t } \mathbf { a } \mathsf { n } \mathbf { a }$ ，其中0≤α≤π$\alpha { \neq } \frac { \pi } { 2 } ; \alpha { = } \frac { \pi } { 2 }$ 时，为 $x = 0 ( y \neq 0 )$ ．其极坐标方程为： $\scriptstyle \Theta = \alpha ~ ( \digamma _ { 0 } \in \mathbb { R } , ~ \mathsf { p } \neq 0 )$ 利用 $| \mathsf { A B } | = | 2 \mathsf { s i n } \bar { \mathsf { a } } - 2 \sqrt { 3 } \mathsf { c o s } \bar { \mathsf { a } }$ 即可得出
【解答】解：（I）由曲线 $\begin{array} { r l } { \mathsf C _ { 2 } \colon } & { { } \mathsf { \rho } = 2 \mathsf { s i n } \mathsf { \theta } } \end{array}$ ，化为 $\scriptstyle 1 0 ^ { 2 } = 2 \ p s i n \theta$
$$
\therefore x ^ { 2 } + y ^ { 2 } = 2 y
$$
同理由 $\mathsf C _ { 3 } \colon \mathsf \Delta \rho { = } 2 \sqrt { 3 } \mathsf { c o s } \Theta$ ．可得直角坐标方程： $\mathbf { x } ^ { 2 } + \mathbf { y } ^ { 2 } = 2 \sqrt { 3 } \mathbf { x }$
联立 $\left\{ \begin{array} { l l } { { \tt x } ^ { 2 } + { \tt y } ^ { 2 } - 2 { \tt y } = 0 } \\ { { \tt x } ^ { 2 } + { \tt y } ^ { 2 } - 2 \sqrt { 3 } { \tt x } = 0 } \end{array} \right.$
解得 $\left\{ \begin{array} { l } { \displaystyle \mathbf { x } = 0 } \\ { \displaystyle \mathbf { y } = 0 } \end{array} \right\} \mathbf { x } = \frac { \sqrt { 3 } } { 2 } ,$
$\therefore C _ { 2 }$ 与 ${ \mathsf { C } } _ { 3 }$ 交点的直角坐标为（0，0）， $( { \frac { \sqrt { 3 } } { 2 } } , ~ { \frac { 3 } { 2 } } )$
（2）曲线C<sub>1</sub>： $\left\{ \begin{array} { l l } { \mathbf { x } = \mathbf { t } \cos \alpha } \\ { \mathbf { y } = \mathbf { t } \sin \alpha } \end{array} \right.$ （t为参数， $\mathsf { t } \neq 0 )$ ，化为普通方程： $\scriptstyle \forall = \times \tan a$ ，其中 $^ { 1 0 \leq }$ α≤π， $\mathfrak { a } \ne \frac { \pi } { 2 } ; \mathfrak { a } = \frac { \pi } { 2 }$ 时，为 $\scriptstyle \mathtt { x } = 0 \ \mathrm { ~ ( ~ } \mathtt { y } \neq 0 \ )$ ）．其极坐标方程为： $\scriptstyle \Theta = \alpha ~ ( \digamma _ { \mathsf { P } } \in \mathsf { R } , ~ \mathsf { p } \neq 0 )$
∵A，B都在 $\mathsf { C } _ { 1 } .$ 上，
∴A $( 2 \sin a , \ a )$ ，B $( 2 \sqrt { 3 } \mathsf { c o s } ^ { \mathrm { a } }$
$$
\therefore \vert A \mathbf { B } \vert = \vert 2 \sin \alpha - 2 \sqrt { 3 } \cos \alpha \vert = 4 \vert \sin ( \alpha - \frac { \pi } { 3 } ) \vert ,
$$
当 $a = \frac { 5 \pi } { 6 }$ 时，|AB|取得最大值4
【点评】本题考查了极坐标方程化为直角坐标方程、参数方程化为普通方程、曲线的交点、两点之间的距离公式、三角函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题
六、选修4-5不等式选讲