在 A B C 中，已知 cos B= 3 4 , cos…——2026 高考数学第 17 题答案解析

【解析】
（1）因为 $A+C=\pi-B$ ，所以

$$ \cos (A+C)=-\cos B=-\frac{3}{4} $$

由 $\cos ^{2}(A+C)+\sin A \sin C=1$ ，得

$$ \sin A \sin C=1-\frac{9}{16}=\frac{7}{16} . $$

又 $\cos (A+C)=\cos A \cos C-\sin A \sin C$ ，

$$ \cos A \cos C=-\frac{3}{4}+\frac{7}{16}=-\frac{5}{16} . $$

所以 $\cos A \cos C<0$ ，而 $\cos B>0$ ，故 $A, C$ 中有一个为钝角，$\triangle A B C$ 为钝角三角形．
（2）设内角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c$ ，面积为 $S$ 。

$$ \sin B=\sqrt{1-\frac{9}{16}}=\frac{\sqrt{7}}{4}, $$

$S=\frac{1}{2} a c \sin B=\frac{1}{2} a c \cdot \frac{\sqrt{7}}{4}=\frac{\sqrt{7}}{4}$ ，所以 $a c=2$ 。
由（1）知 $\sin A \sin C=\frac{7}{16}$ ．设 $\triangle A B C$ 的外接圆半径为 $R$ ，由正弦定理得 $a c=$ $4 R^{2} \sin A \sin C=4 R^{2} \cdot \frac{7}{16}=\frac{7 R^{2}}{4}=2$ ，
所以 $R^{2}=\frac{8}{7}$ ，从而

$$ b=2 R \sin B=2 \sqrt{\frac{8}{7}} \cdot \frac{\sqrt{7}}{4}=\sqrt{2} . $$

由余弦定理 $b^{2}=a^{2}+c^{2}-2 a c \cos B$ ，得

$$ a^{2}+c^{2}=b^{2}+2 a c \cos B=2+3=5 . $$

$(a+c)^{2}=a^{2}+c^{2}+2 a c=5+4=9$ ，所以 $a+c=3$ 。
故 $\triangle A B C$ 的周长为 $a+b+c=3+\sqrt{2}$ ．