2014_新课标 II 卷 (2014·理)
18．（12分）如图，四棱锥 $\mathrm{P}-\mathrm{ABCD}$ 中，底面 ABCD 为矩形， $\mathrm{PA} \perp$ 平面 $\mathrm{ABCD}, \mathrm{E}$为 PD 的中点．
（I）证明： $\mathrm{PB} \|$ 平面 AEC ；
（II）设二面角 $\mathrm{D}-\mathrm{AE}-\mathrm{C}$ 为 $60^{\circ}, \mathrm{AP}=1, \mathrm{AD}=\sqrt{3}$ ，求三棱锥 $\mathrm{E}-\mathrm{ACD}$ 的体积。
【考点】LF：棱柱、棱锥、棱台的体积；LS：直线与平面平行；MJ：二面角的平面角及求法．
【专题】5F：空间位置关系与距离．
【分析】（ I ）连接 BD 交 AC 于 O 点，连接 EO ，只要证明 $\mathrm{EO} \| \mathrm{PB}$ ，即可证明 $\mathrm{PB} \|$ 平面AEC；
（II）延长 $A E$ 至 $M$ 连结 $D M$ ，使得 $A M \perp D M$ ，说明 $\angle C M D=60^{\circ}$ ，是二面角的平面角，求出CD，即可三棱锥E－ACD的体积。
【解答】（ I ）证明：连接 $B D$ 交 $A C$ 于 $O$ 点，连接 $E O$ ，
$\because \mathrm{O}$ 为 BD 中点， E 为 PD 中点，
$\therefore \mathrm{EO} \| \mathrm{PB}$ ，（2分）
EOC 平面 $\mathrm{AEC}, \mathrm{PB} \not \subset$ 平面 AEC ，所以 $\mathrm{PB} \|$ 平面 AEC ；（6分）
（II）解：延长 $A E$ 至 $M$ 连结 $D M$ ，使得 $A M \perp D M$ ，
∵ 四棱锥 $\mathrm{P}-\mathrm{ABCD}$ 中，底面 ABCD 为矩形， $\mathrm{PA} \perp$ 平面 ABCD ，
$\therefore \mathrm{CD} \perp$ 平面 AMD ，
$\therefore \mathrm{CD} \perp \mathrm{MD}$ ．
$\because$ 二面角 $D-A E-C$ 为 $60^{\circ}$ ，
$\therefore \angle \mathrm{CMD}=60^{\circ}$ ，
$\because \mathrm{AP}=1, \quad \mathrm{AD}=\sqrt{3}, \quad \angle \mathrm{ADP}=30^{\circ}$ ，
$\therefore \mathrm{PD}=2$ ，
$E$ 为 $P D$ 的中点．$A E=1$ ，
$\therefore \mathrm{DM}=\frac{\sqrt{3}}{2}$ ，
$C D=\frac{\sqrt{3}}{2} \times \tan 60^{\circ}=\frac{3}{2}$ ．
三棱锥 E － ACD 的体积为：$\frac{1}{3} \times \frac{1}{2} \mathrm{AD} \cdot \mathrm{CD} \cdot \frac{1}{2} \mathrm{PA}=\frac{1}{3} \times \frac{1}{2} \times \sqrt{3} \times \frac{3}{2} \times \frac{1}{2} \times 1=\frac{\sqrt{3}}{8}$ ．
II
【点评】本题考查直线与平面平行的判定，几何体的体积的求法，二面角等指数的应用，考查逻辑思维能力，是中档题．