2014 新课标 II 卷 · 理 数学　·　真题与答案解析

1．（5分）设集合 $M=\{0,1,2\}, N=\left\{x \mid x^{2}-3 x+2 \leq 0\right\}$ ，则 $M \cap N=$

2．（5分）设复数 $z_{1}, z_{2}$ 在复平面内的对应点关于虚轴对称，$z_{1}=2+i$ ，则 $z_{1} z_{2}=$（ ）

3．（5分）设向量 $\vec{a}$ ，$\vec{b}$ 满足 $|\vec{a}+\vec{b}|=\sqrt{10}$ ，$|\vec{a}-\vec{b}|=\sqrt{6}$ ，则 $\vec{a} \bullet \vec{b}=$

4．（5分）钝角三角形 ABC 的面积是 $\frac{1}{2}, \mathrm{AB}=1, \mathrm{BC}=\sqrt{2}$ ，则 $\mathrm{AC}=$（）

5．（5分）某地区空气质量监测资料表明，一天的空气质量为优良的概率是 0.7 5，连续两天为优良的概率是 0.6 ，已知某天的空气质量为优良，则随后一天的空气质量为优良的概率是

6．（5分）如图，网格纸上正方形小格的边长为 1 （表示 1 cm ），图中粗线画出的是某零件的三视图，该零件由一个底面半径为 3 cm ，高为 6 cm 的圆柱体毛坏切削得到，则切削掉部分的体积与原来毛坏体积的比值为 

7．（5分）执行如图所示的程序框图，若输入的 $x, t$ 均为 2 ，则输出的 $S=$（ 

8．（5分）设曲线 $y=a x-\ln (x+1)$ 在点 $(0,0)$ 处的切线方程为 $y=2 x$ ，则 $a=$（

9．（5分）设 $x, y$ 满足约束条件 $\left\{\begin{array}{l}x+y-7 \leqslant 0 \\ x-3 y+1 \leqslant 0, \\ 3 x-y-5 \geqslant 0\end{array}\right.$ 则 $z=2 x-y$ 的最大值为（）

10．（5分）设 $F$ 为抛物线 $C$ ：$y^{2}=3 x$ 的焦点，过 $F$ 且倾斜角为 $30^{\circ}$ 的直线交 $C$ 于 $A, B$两点， O 为坐标原点，则 $\triangle \mathrm{OAB}$ 的面积为（ ）

11．（5分）直三棱柱 $A B C-A_{1} B_{1} C_{1}$ 中，$\angle B C A=90^{\circ}, M, N$ 分别是 $A_{1} B_{1}, A_{1} C_{1}$ 的中点， $\mathrm{BC}=\mathrm{CA}=\mathrm{CC}_{1}$ ，则 BM 与 AN 所成角的余弦值为（ ）

12．（5分）设函数 $f(x)=\sqrt{3} \sin \frac{\pi x}{m}$ ，若存在 $f(x)$ 的极值点 $x_{0}$ 满足 $x_{0}{ }^{2}+\left[f\left(x_{0}\right.\right.$ ）$]^{2}<m^{2}$ ，则 $m$ 的取值范围是（）

13．（5分）$(x+a)^{10}$ 的展开式中，$x^{7}$ 的系数为 15 ，则 $a=-\frac{1}{2}$ —。

14．（5分）函数 $f(x)=\sin (x+2 \phi)-2 \sin \phi \cos (x+\phi)$ 的最大值为

15．（5分）已知偶函数 $f(x)$ 在 $[0,+\infty)$ 单调递减，$f(2)=0$ ，若 $f(x-1) >0$ ，则 $x$ 的取值范围是 $\_\_\_\_$ （－1，3）。

16．（5分）设点M（ $x_{0}, 1$ ），若在圆 $O: x^{2}+y^{2}=1$ 上存在点 $N$ ，使得 $\angle O M N=45^{\circ}$ ，则 $\mathrm{x}_{0}$ 的取值范围是 $\_\_\_\_$ $[-1,1]$。

17．（12分）已知数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 满足 $a_{1}=1, a_{n+1}=3 a_{n}+1$ ． （I）证明 $\left\{a_{n}+\frac{1}{2}\right\}$ 是等比数列，并求 $\left\{a_{n}\right\}$ 的通项公式； （II）证明：$\frac{1}{a_{1}}+\frac{1}{a_{2}}+\ldots+\frac{1}{a_{n}}<\frac{3}{2}$ ．

18．（12分）如图，四棱锥 $\mathrm{P}-\mathrm{ABCD}$ 中，底面 ABCD 为矩形， $\mathrm{PA} \perp$ 平面 $\mathrm{ABCD}, \mathrm{E}$为 PD 的中点． （I）证明： $\mathrm{PB} \|$ 平面 AEC ； （II）设二面角 $\mathrm{D}-\mathrm{AE}-\mathrm{C}$ 为 $60^{\circ}, \mathrm{AP}=1, \mathrm{AD}=\sqrt{3}$ ，求三棱锥 $\mathrm{E}-\mathrm{ACD}$ 的体积。 

19．（12分）某地区2007年至2013年农村居民家庭人均纯收入y（单位：千元的数据如表： | 年份 | 2007 | 2008 | 2009 | 2010 | 2011 | 2012 | 2013 | | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | | 年份代号 t | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | | 人均纯收入y | 2.9 | 3.3 | 3.6 | 4.4 | 4.8 | 5.2 | 5.9 | （I）求 y 关于 t 的线性回归方程； （II）利用（I）中的回归方程，分析2007年至2013年该地区农村居民家庭人均纯收入的变化情况，并预测该地区2015年农村居民家庭人均纯收入。 附：回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：$\widehat{\mathrm{b}}=$ $ \frac{\sum_{i=1}^{n}\left(t_{i}-\bar{t}\right)\left(y_{i}-\bar{y}\right)}{\sum_{i=1}^{n}\left(t_{i}-\bar{t}\right)^{2}}, \hat{a}=\bar{y}-\widetilde{b} t $

20．（12分）设 $F_{1}, F_{2}$ 分别是C：$\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>b>0)$ 的左，右焦点，$M$ 是C上一点且 $M F_{2}$ 与 $x$ 轴垂直，直线 $M F_{1}$ 与 $C$ 的另一个交点为 $N$ ． （1）若直线 MN 的斜率为 $\frac{3}{4}$ ，求 C 的离心率； （2）若直线 $M N$ 在 $y$ 轴上的截距为 2 ，且 $|M N|=5\left|F_{1} N\right|$ ，求 $a$ ，$b$ ．

21．（12分）已知函数 $f(x)=e^{x}-e^{-x}-2 x$ ． （I）讨论 $f$（ $x$ ）的单调性； （II）设 $g(x)=f(2 x)-4 b f(x)$ ，当 $x>0$ 时，$g(x)>0$ ，求 $b$ 的最大值； （III）已知 $1.4142<\sqrt{2}<1.4143$ ，估计 $\ln 2$ 的近似值（精确到 0.001 ）．

22．（10分）如图， P 是 $\odot \mathrm{O}$ 外一点， PA 是切线， A 为切点，割线 PBC 与 $\odot \mathrm{O}$ 相交于点 $\mathrm{B}, \mathrm{C}, \mathrm{PC}=2 \mathrm{PA}, \mathrm{D}$ 为 PC 的中点， AD 的延长线交 $\odot \mathrm{O}$ 于点 E ，证明： （ I ） $\mathrm{BE}=\mathrm{EC}$ ； （ II ）$A D \cdot D E=2 P B^{2}$ ． 

23．在直角坐标系 xOy 中，以坐标原点为极点， x 轴正半轴为极轴建立极坐标系 ，半圆 C 的极坐标方程为 $\rho=2 \cos \theta, \theta \in\left[0, \frac{\pi}{2}\right]$ （I）求 C 的参数方程； （II）设点 D 在半圆 C 上，半圆 C 在 D 处的切线与直线 $\mathrm{I}: \mathrm{y}=\sqrt{3} \mathrm{x}+2$ 垂直，根据（1 ）中你得到的参数方程，求直线 $C D$ 的倾斜角及 $D$ 的坐标。

24．设函数 $f(x)=\left|x+\frac{1}{a}\right|+|x-a| \quad(a>0)$ 。 （ I ）证明： $\mathrm{f}(\mathrm{x}) \geq 2$ ； （II）若 $f$（3）＜5，求 $a$ 的取值范围．