（5分）已知点M（﹣1，1）和抛物线C： y ^ 2 =…——2018 高考数学第 16 题答案解析

【考点】K8：抛物线的性质；KN：直线与抛物线的综合

【专题】11：计算题；34：方程思想；35：转化思想；49：综合法；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程

【分析】由已知可求过A，B两点的直线方程为 ${ \sf y } = { \sf k } ( { \sf x } - 1 )$ ，然后联立直线与抛物线方程组可得， $k ^ { 2 } { \bf x } ^ { 2 } \mathrm { ~ - ~ } 2 \mathrm { ~ } \left( 2 { \mathrm { + } } { \bf k } ^ { 2 } \right) \mathrm { ~ } { \bf x } { \mathrm { + } } { \bf k } ^ { 2 } { \mathrm { = } } 0$ ，可表示 $\cdot { \sf x } _ { 1 } + { \sf x } _ { 2 } , ~ { \sf x } _ { 1 } { \sf x } _ { 2 } , ~ { \sf y } _ { 1 } { + \sf y } _ { 2 } , ~ { \sf y } _ { 1 } { \sf y } _ { 2 }$ 由 $\angle A M B = 9 0 ^ { \circ }$ ，向量的数量积为0，代入整理可求k

【解答】解：∵抛物线C： $y ^ { 2 } = 4 x$ 的焦点F（1，0），

∴过A，B两点的直线方程为 ${ \sf y } = { \sf k } ( { \sf x } - 1 )$

联立 $\left\{ \begin{array} { l } { { \bf { y } } ^ { 2 } { = } 4 { \bf { x } } } \\ { { \bf { y } } { = } { \bf { k } } \left( { \bf { x } } { - } 1 \right) } \end{array} \right.$ 可得， $k ^ { 2 } { \bf x } ^ { 2 } \mathrm { ~ - ~ } 2 \mathrm { ~ } \left( 2 { + } { \bf k } ^ { 2 } \right) \mathrm { ~ } { \bf x } { + } { \bf k } ^ { 2 } { = } 0$

设A $( { \sf x } _ { 1 } , { \sf y } _ { 1 } ) , { \sf B } ( { \sf x } _ { 2 } , { \sf y } _ { 2 } )$

则 $x _ { 1 } + x _ { 2 } = \frac { 4 + 2 k ^ { 2 } } { k ^ { 2 } } , x _ { 1 } x _ { 2 } = 1$

$$ \therefore y _ { 1 } + y _ { 2 } = k ( \mathbf x _ { 1 } + \mathbf x _ { 2 } - 2 ) = \frac { 4 } { \mathbf k } , \forall \mathbf x _ { 2 } = \mathbf k ^ { 2 } ( \mathbf x _ { 1 } - \mathbf 1 ) ( \mathbf x _ { 2 } - \mathbf 1 ) = \mathbf k ^ { 2 } \big [ \mathbf x _ { 1 } \mathbf x _ { 2 } - \mathbf \beta ( \mathbf x _ { 1 } + \mathbf x _ { 2 } ) \mathbf \beta + \mathbf 1 \big ] = - \mathbf k ( \mathbf x _ { 1 } + \mathbf x _ { 2 } ) , $$

4，

∵M（﹣1，1），

∴ =（x₁+1，y₁﹣1）， =（x₂+1，y₂﹣1），

$$ \because \angle A M B = 9 0 ^ { \circ } , \therefore \overrightarrow { A B } = \overrightarrow { M B } = 0 $$

$$ \therefore ( x _ { 1 } + 1 ) ( x _ { 2 } + 1 ) + ( y _ { 1 } - 1 ) ( y _ { 2 } - 1 ) = 0 , $$

整理可得， $\times _ { 1 } \times _ { 2 } + ( x _ { 1 } + x _ { 2 } ) + y _ { 1 } y _ { 2 } - ( y _ { 1 } + y _ { 2 } ) + 2 = 0$

$$ \therefore 1 + 2 + \frac { 4 } { 5 ^ { 2 } } - 4 - \frac { 4 } { k } + 2 = 0 , $$

即 $k ^ { 2 } - 4 k + 4 = 0$

∴k=2

故答案为：2

【点评】本题主要考查了直线与圆锥曲线的相交关系的应用，解题的难点是本题具有较大的计算量