已知函数 f ( x ) = | x - a | + |…——2021 高考数学第 23 题答案解析

【答案】① $\left( - \infty , - 4 \right] \cup \left[ 2 , + \infty \right)$ .（2） $\left( - \frac { 3 } { 2 } , + \infty \right)$

【解析】

【分析】（1）利用绝对值的几何意义求得不等式的解集.

（2）利用绝对值不等式化简 $f ( x ) > - a$ ，由此求得a的取值范围.

**方法一**：绝对值的几何意义法

当a =1时， $f ( x ) = \left| x - 1 \right| + \left| x + 3 \right| , \left| x - 1 \right| + \left| x + 3 \right|$ 表示数轴上的点到1和-3的距离之和，

则 $f ( x ) \geq 6$ 表示数轴上的点到1和-3的距离之和不小于6，

当x = -4或x=2时所对应的数轴上的点到1 3，- 所对应的点距离之和等于6，

∴数轴上到1 3，- 所对应的点距离之和等于大于等于6得到所对应的坐标的范围是x £ -4或 $x \ge 2$

所以 $f ( x ) \geq 6$ 的解集为 $\left( - \infty , - 4 \right] \cup \left[ 2 , + \infty \right)$

**方法二**：【最优解】：零点分段求解法

当 a =1时， $f ( x ) = \mid x - 1 \mid + \mid x + 3 \mid$

当 $x \leq - 3$ 时， $( 1 - x ) + ( - x - 3 ) \geq 6$ ，解得 $x \leq - 4$

当 $- 3 < x < 1$ 时， $( 1 - x ) + ( x + 3 ) \geq 6$ ，无解；

当 $x \ge 1$ 时， $( x - 1 ) + ( x + 3 ) \geq 6$ ，解得 $x \ge 2$

综上， $| x - 1 | + | x + 3$ | 6 ³ 的解集为 $( - \infty , - 4 ] \cup [ 2 , + \infty )$

（2）[方法一]：绝对值不等式的性质法求最小值

依题意 $f ( x ) > - a$ ，即 $\vert x - a \vert + \vert x + 3 \vert > - a$ 恒成立，

$$ \left| x - a \right| + \left| x + 3 \right| = \left| a - x \right| + \left| x + 3 \right| \geq \left| a + 3 \right| , $$

当且仅当 $\left( a - x \right) \left( x + 3 \right) \geq 0$ 时取等号，

$$ \therefore f ( x ) _ { m i n } = \left| a + 3 \right| , $$

故 $\left| a + 3 \right| > - a$

所以 $a + 3 > - a$ 或 $a + 3 < a$ ，

解得 $a > - { \frac { 3 } { 2 } }$

所以a的取值范围是 $\left( - \frac { 3 } { 2 } , + \infty \right)$

**方法二**：【最优解】：绝对值的几何意义法求最小值

由 $\left| x - a \right|$ 是数轴上数x表示的点到数a表示的点的距离，得 $f ( x ) = \mid x - a \mid + \mid x + 3 \mid \geq \mid a + 3 \mid$ ，故

$\vert a + 3 \vert > - a$ ，下同解法一.

**方法三**：分类讨论+分段函数法

当 $a \leq - 3$ 时，

$$ f ( x ) = { \left\{ \begin{array} { l l } { - 2 x + a - 3 , x < a , } \\ { - a - 3 , a \leq x \leq - 3 , } \\ { 2 x - a + 3 , x > - 3 , } \end{array} \right. } $$

则 $[ f ( x ) ] _ { \mathrm { m i n } } = - a - 3$ ，此时 $- a - 3 > - a$ ，无解

当 $a > - 3$ 时，

$$ f ( x ) = { \left\{ \begin{array} { l l } { - 2 x + a - 3 , x < - 3 , } \\ { a + 3 , - 3 \leq x \leq a , } \\ { 2 x - a + 3 , x > a , } \end{array} \right. } $$

则 $[ f ( x ) ] _ { \mathrm { m i n } } = a + 3$ ，此时，由 $a + 3 > - a$ 得， $a > - { \frac { 3 } { 2 } }$

综上，a的取值范围为 $a > - { \frac { 3 } { 2 } }$

**方法四**：函数图象法解不等式

由方法一求得 $f ( x ) _ { \mathrm { m i n } } = \left| a + 3 \right|$ 后，构造两个函数 $y = \mid a + 3 \mid$ 和 $y = - a$

即 $y = { \left\{ \begin{array} { l l } { - a - 3 , a < - 3 , } \\ { a + 3 , a \geq - 3 } \end{array} \right. }$ 和 $y = - a$

如图，两个函数的图像有且仅有一个交点 $M \left( - \frac { 3 } { 2 } , \frac { 3 } { 2 } \right)$

由图易知 $\vert a + 3 \vert > - a$ ，则 $a > - { \frac { 3 } { 2 } }$

【整体点评】（1）解绝对值不等式的方法有几何意义法，零点分段法

方法一采用几何意义方法，适用于绝对值部分的系数为1的情况，

方法二使用零点分段求解法，适用于更广泛的情况，为最优解；

（2）方法一，利用绝对值不等式的性质求得 $f \left( x \right) _ { m i n } = \left| a + 3 \right|$ ，利用不等式恒成立的意义得到关于a的不等式，然后利用绝对值的意义转化求解；

方法二与方法一不同的是利用绝对值的几何意义求得 f x  的最小值，最有简洁快速，为最优解法

方法三利用零点分区间转化为分段函数利用函数单调性求 $f ( x )$ 最小值，要注意函数f(x)中的各绝对值

的零点的大小关系，采用分类讨论方法，使用与更广泛的情况；

方法四与方法一的不同在于得到函数f(x)的最小值后，构造关于a的函数，利用数形结合思想求解关于a的不等式.