（15）如图，在 A B C 中， A D A B, B…——2010 高考数学第 15 题答案解析

【答案】$\sqrt{3}$
$\left(-\infty,-\frac{\sqrt{3}}{2}\right] \cup\left[\frac{\sqrt{3}}{2},+\infty\right)$

【解答】
（4分）（2010•天津）如图，在 $\triangle \mathrm{ABC}$ 中， $\mathrm{AD} \perp \mathrm{AB}, \overrightarrow{\mathrm{BC}}=\sqrt{3} \overrightarrow{\mathrm{BD}},|\overrightarrow{\mathrm{AD}}|=1$ ，则 $\overrightarrow{\mathrm{AC}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{AD}}=-\sqrt{3}$ ．

【考点】向量在几何中的应用．
【专题】平面向量及应用．
【分析】本题主要考查平面向量的基本运算与解三角形的基础知识，属于难题．
【解答】解： $\overrightarrow{\mathrm{AC}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{AD}}=|\overrightarrow{\mathrm{AC}}| \cdot|\overrightarrow{\mathrm{AD}}| \cos \angle \mathrm{DAC}$ ，
$\because|\overrightarrow{\mathrm{AD}}|=1$,
$\therefore \overrightarrow{\mathrm{AC}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{AD}}=|\overrightarrow{\mathrm{AC}}| \cdot|\overrightarrow{\mathrm{AD}}| \cos \angle \mathrm{DAC}=|\overrightarrow{\mathrm{AC}}| \cdot \cos \angle \mathrm{DAC}$ ，
$\because \angle \mathrm{BAC}=\frac{\pi}{2}+\angle \mathrm{DAC}$ ，
$\therefore \cos \angle \mathrm{DAC}=\sin \angle \mathrm{BAC}$ ，
$\overrightarrow{\mathrm{AC}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{AD}}=|\overrightarrow{\mathrm{AC}}| \cdot|\overrightarrow{\mathrm{AD}}| \cos \angle \mathrm{DAC}=|\overrightarrow{\mathrm{AC}}| \cdot \cos \angle \mathrm{DAC}=|\overrightarrow{\mathrm{AC}}| \sin \angle \mathrm{BAC}$,
在 $\triangle \mathrm{ABC}$ 中，由正弦定理得 $\frac{|\mathrm{AC}|}{\sin \mathrm{B}}=\frac{|\mathrm{BC}|}{\sin \angle \mathrm{BAC}}$ 变形得 $|\mathrm{AC}| \sin \angle \mathrm{BAC}=|\mathrm{BC}| \sin \mathrm{B}$ ，
$\overrightarrow{\mathrm{AC}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{AD}}=|\overrightarrow{\mathrm{AC}}| \cdot|\overrightarrow{\mathrm{AD}}| \cos \angle \mathrm{DAC}=|\overrightarrow{\mathrm{AC}}| \cdot \cos \angle \mathrm{DAC}=|\overrightarrow{\mathrm{AC}}| \sin \angle \mathrm{BAC}$,
$=|\mathrm{BC}| \sin \mathrm{B}=|\mathrm{BC}| \cdot \frac{|\mathrm{AD}|}{|\mathrm{BD}|}=\sqrt{3}$ ，
故答案为 $\sqrt{3}$ 。
【点评】近几年天津卷中总可以看到平面向量的身影，且均属于中等题或难题，应加强平面向量的基本运算的训练，尤其是与三角形综合的问题