2018_新课标III卷
10．（5分）已知双曲线C： $\frac { \mathbf { x } ^ { 2 } } { \mathsf { a } ^ { 2 } } - \frac { \mathbf { y } ^ { 2 } } { \mathsf { b } ^ { 2 } } \mathbf { = } 1 ( \mathsf { a } > 0 , \mathsf { b } > 0 )$ 的离心率为 ${ \sqrt { 2 } } ,$ ，则点（4 ，0）到C的渐近线的距离为（ ） A． $\sqrt { 2 }$ B．2 C $\frac { 3 { \sqrt { 2 } } } { 2 }$ D $2 \sqrt { 2 }$
D
用 3 道相关题确认基础和中等变式会到哪一步。
【考点】KC：双曲线的性质
【专题】11：计算题；34：方程思想；49：综合法；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程
【分析】利用双曲线的离心率求出a，b的关系，求出双曲线的渐近线方程，利用点到直线的距离求解即可
【解答】解：双曲线C： $\frac { \texttt { x } ^ { 2 } } { \texttt { a } ^ { 2 } } - \frac { \texttt { y } ^ { 2 } } { \texttt { b } ^ { 2 } } = 1 ~ ( \texttt { a } > 0 , ~ \texttt { b } > 0 )$ ）的离心率为 $\sqrt { 2 }$ ，
可得 $\scriptstyle { \frac { c } { a } } = { \sqrt { 2 } } ,$ ，即： $\frac { a ^ { 2 } + b ^ { 2 } } { a ^ { 2 } } = 2$ ，解得 $\mathtt { a } = \mathtt { b }$ ，
双曲线C： $\frac { x ^ { 2 } } { a ^ { 2 } } - \frac { y ^ { 2 } } { b ^ { 2 } } = 1 ( a > b > 0 )$ 的渐近线方程玩： $y = \pm x$
点（4，0）到C的渐近线的距离为： $\frac { \mid \pm 4 \mid } { \sqrt { 2 } } = 2 { \sqrt { 2 } } .$
故选：D
【点评】本题看出双曲线的简单性质的应用，考查转化思想以及计算能力